ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.59 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, отметили точку и соединили её со всеми вершинами трапеции. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

В трапеции \(ABCD\) точка \(O\) лежит на отрезке, соединяющем середины оснований \(AB\) и \(CD\). Соединим \(O\) с вершинами. Рассмотрим треугольники, прилежащие к боковым сторонам: \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \).

Пусть \(M\) и \(N\) — середины оснований \(AB\) и \(CD\), тогда \(MN\) — средняя линия трапеции, а \(O \in MN\). Прямые \(AO\) и \(CO\) являются медианами в треугольниках \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDN \), поскольку выходят из вершин к серединам противоположных сторон.

Так как \(AB \parallel CD\), треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDN \) подобны и равновелики: их основания пропорциональны, высоты равны, следовательно площади равны. Точка \(O\) делит эти треугольники медианами на пары треугольников с равными основаниями и общими высотами, поэтому их площади равны: \(S_{\triangle ABO} = S_{\triangle CDO}\).

Следовательно, прилежащие к боковым сторонам треугольники равновелики: \(S_{\triangle ABO} = S_{\triangle COD}\).

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AB\parallel CD\). Пусть \(M\) и \(N\) — середины оснований \(AB\) и \(CD\) соответственно, а \(MN\) — отрезок, соединяющий середины оснований. Точка \(O\) лежит на \(MN\). Соединим \(O\) с вершинами \(A,B,C,D\). Нас интересуют треугольники, прилежащие к боковым сторонам, то есть \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \). Заметим, что \(M\in AB\) и \(N\in CD\), причём \(AM=MB=\frac12 AB\) и \(CN=ND=\frac12 CD\). Так как \(MN\) — средняя линия трапеции, она параллельна основаниям, а расстояния между прямыми, параллельными основаниям, одинаковы. Отсюда высоты из точек \(A\) и \(C\) к прямой \(MN\) равны, как и высоты из \(B\) и \(D\) к \(MN\).

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDN \). У них \(AB\parallel MN\parallel CD\), поэтому углы при вершинах \(A\) и \(C\) равны соответствующим углам при \(B\) и \(D\), а расстояние между прямыми, содержащими пары оснований, одинаково. Высоты этих треугольников, опущенные на \(AM\) и \(CN\) соответственно, равны, поскольку обе измеряются между параллельными прямыми \(AB\) и \(MN\) для первого треугольника и между \(CD\) и \(MN\) для второго. Следовательно, площади удовлетворяют соотношениям \(S_{\triangle ABM}=\frac12\cdot AM\cdot h_{1}\) и \(S_{\triangle CDN}=\frac12\cdot CN\cdot h_{2}\) при \(h_{1}=h_{2}\). Но \(AM=\frac12 AB\) и \(CN=\frac12 CD\), а также треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDN \) подобны по двум углам, так как каждая пара сторон лежит на параллельных прямых. Из подобия следует, что отношение их соответствующих высот равно отношению соответствующих оснований; здесь оно равно \(1\), поэтому \(S_{\triangle ABM}=S_{\triangle CDN}\).

Точка \(O\in MN\) делит каждый из треугольников \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDN \) отрезками \(AO, BO\) и \(CO, DO\) на пары треугольников с равными высотами к общим основаниям, лежащим на параллельных прямых. В треугольнике \( \triangle ABM \) медиана из \(O\) к стороне \(AB\) не обязательно равна медиане из вершины, но площади \(S_{\triangle ABO}\) и \(S_{\triangle MBO}\) складываются в \(S_{\triangle ABM}\), причём высоты этих двух треугольников к основанию \(AB\) равны, так как оба имеют вершины на одной прямой \(MN\). Аналогично, в треугольнике \( \triangle CDN \) суммы \(S_{\triangle CDO}+S_{\triangle NDO}=S_{\triangle CDN}\), а высоты к основанию \(CD\) для пар треугольников с вершинами на \(MN\) совпадают. Кроме того, из равенства отрезков \(AM=MB\) и \(CN=ND\) следует равенство площадей прилегающих к основаниям частей: \(S_{\triangle MBO}=S_{\triangle NDO}\), так как у них равные основания \(MB\) и \(ND\) и общие высоты из точки \(O\) к прямой, параллельной основаниям. Вычитая равные площади из равных сумм, получаем \(S_{\triangle ABM}-S_{\triangle MBO}=S_{\triangle CDN}-S_{\triangle NDO}\), то есть \(S_{\triangle ABO}=S_{\triangle CDO}\).

Итак, треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики: \(S_{\triangle ABO}=S_{\triangle COD}\). Альтернативно то же следует из векторной или координатной модели: поместив \(AB\) на прямую \(y=0\), \(CD\) на \(y=h\), а \(O\) на отрезок \(MN\), получаем \(S_{\triangle ABO}=\frac12\cdot AB\cdot y_{O}\) и \(S_{\triangle CDO}=\frac12\cdot CD\cdot (h-y_{O})\) при линейной зависимости \(y_{O}\) от долей на \(MN\); равенство следует из того, что \(y_{O}\) — одинаково удалён от обеих параллельных прямых, поскольку \(MN\) эквидистантен основаниям. В обоих рассуждениях заключаем \(S_{\triangle ABO}=S_{\triangle CDO}\).