ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки 8 см и 12 см. Найдите периметр треугольника.

Периметр \(P=100\) см, высота к основанию \(h=30\) см. Пусть боковые стороны равны, а основание \(BC\). Тогда \(2a+BC=100\), то есть \(a+\frac{BC}{2}=50\). В прямоугольном треугольнике с катетами \(\frac{BC}{2}\) и \(h\) и гипотенузой \(a\): \(a^2=\left(\frac{BC}{2}\right)^2+h^2\). Обозначим \(\frac{BC}{2}=x\), тогда \(a=50-x\), и уравнение: \((50-x)^2=x^2+30^2\). Получаем \(2500-100x+x^2=x^2+900\), откуда \(100x=1600\), \(x=16\). Значит \(BC=32\) см, \(a=34\) см.

Площадь \(S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot 30=480\) см\(^2\).

Периметр равнобедренного треугольника задан как \(P=100\) см, высота к основанию равна \(h=30\) см. Обозначим основание через \(BC\), а равные боковые стороны через \(AB=AC=a\). Тогда из условия периметра имеем линейную связь длин сторон: \(2a+BC=100\). Удобно ввести половину основания: пусть \(\frac{BC}{2}=x\). Тогда \(BC=2x\), а из уравнения периметра получаем \(a=50-x\). Высота, опущенная из вершины на основание равнобедренного треугольника, делит основание пополам и образует два равных прямоугольных треугольника с катетами \(x\) и \(h=30\) и гипотенузой \(a\). Поэтому выполняется теорема Пифагора: \(a^{2}=x^{2}+30^{2}\). Подставляя выражение для \(a\), получаем квадратное уравнение: \((50-x)^{2}=x^{2}+30^{2}\).

Раскроем скобки и упростим: \((50-x)^{2}=2500-100x+x^{2}\). Правая часть равна \(x^{2}+900\). Приравнивая, имеем \(2500-100x+x^{2}=x^{2}+900\). Сокращаем \(x^{2}\) по обе стороны, получаем линейное уравнение \(2500-100x=900\). Переносим и решаем: \(2500-900=100x\), то есть \(1600=100x\), отсюда \(x=16\). Следовательно, основание \(BC=2x=32\) см, а боковая сторона \(a=50-x=34\) см. Эти значения согласуются с построением: высота действительно делит основание пополам, давая два прямоугольных треугольника с катетами \(16\) и \(30\) и гипотенузой \(34\), что подтверждает равенство \(34^{2}=16^{2}+30^{2}\).

Площадь исходного треугольника находим по формуле через основание и высоту: \(S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h\). Подставляя найденное основание и данную высоту, получаем \(S=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot 30=480\) см\(^2\). Таким образом, искомая площадь равна \(480\) см\(^2\), что непосредственно следует из корректного разбиения треугольника высотой, использования периметра для выражения сторон и применения теоремы Пифагора для нахождения основания.