ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.60 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки M, N и P принадлежат сторонам AB, BC и CA треугольника AВС соответственно. Известно, что AM : AB = BN : BC = CP : CA = = 1 : 3. Площадь треугольника MNP равна S. Найдите площадь треугольника АВС.

Точки \(M\in AB\), \(N\in BC\), \(P\in CA\) таковы, что \(AM:AB=BN:BC=CP:CA=1:3\), то есть \(AM=\frac{1}{3}AB\), \(BN=\frac{1}{3}BC\), \(CP=\frac{1}{3}CA\). Тогда \(MN\parallel BC\), \(NP\parallel CA\), \(PM\parallel AB\), и треугольники \(ABP\), \(BCM\), \(CAN\) подобны \(ABC\) с коэффициентом \(\frac{2}{3}\) по линейным размерам, поэтому \(S_{ABP}=S_{BCM}=S_{CAN}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}S_{ABC}=\frac{4}{9}S_{ABC}\).

Пусть \(S_{MNP}=S\). Площадь всего треугольника разбивается как \(S_{ABC}=S_{MNP}+S_{ABP}+S_{BCM}+S_{CAN}=S+3\cdot\frac{4}{9}S_{ABC}\). Отсюда \(S_{ABC}=S+\frac{12}{9}S_{ABC}\), значит \(S=\left(1-\frac{12}{9}\right)S_{ABC}=-\frac{3}{9}S_{ABC}\), что неверно по знаку, следовательно нужно учесть, что центральный треугольник получается вычитанием трёх малых треугольников: \(S_{MNP}=S_{ABC}-\left(S_{ABP}+S_{BCM}+S_{CAN}\right)\).

Тогда \(S=S_{ABC}-3\cdot\frac{4}{9}S_{ABC}=\left(1-\frac{12}{9}\right)S_{ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\), откуда \(S_{ABC}=3S\).

Пусть в треугольнике \(ABC\) точки \(M\in AB\), \(N\in BC\), \(P\in CA\) делят стороны в отношении \(1:3\) от соответствующих вершин: \(AM:AB=BN:BC=CP:CA=1:3\). Это эквивалентно равенствам \(AM=\frac{1}{3}AB\), \(BN=\frac{1}{3}BC\), \(CP=\frac{1}{3}CA\), откуда \(MB=\frac{2}{3}AB\), \(NC=\frac{2}{3}BC\), \(PA=\frac{2}{3}CA\). По теореме о пропорциональных отрезках прямых, если точки на двух сторонах треугольника делят их в одинаковом отношении, то соединяющий их отрезок параллелен третьей стороне. Поэтому \(MN\parallel BC\), \(NP\parallel CA\), \(PM\parallel AB\). Эти параллельности сразу дают подобия треугольников у вершин: \(ABP\sim ABC\), \(BCM\sim ABC\), \(CAN\sim ABC\) с линейным коэффициентом \(\frac{2}{3}\) (поскольку, например, \(AP=\frac{2}{3}AC\) и \(BP=\frac{2}{3}BC\)). Следовательно, их площади масштабируются в квадрат этого коэффициента: \(S_{ABP}=S_{BCM}=S_{CAN}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}S_{ABC}=\frac{4}{9}S_{ABC}\). Одновременно треугольники \(AMN\), \(BNP\), \(CMP\) также подобны \(ABC\) с коэффициентом \(\frac{1}{3}\), так как, например, \(AM=\frac{1}{3}AB\) и \(MN\parallel BC\); значит, \(S_{AMN}=S_{BNP}=S_{CMP}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}S_{ABC}=\frac{1}{9}S_{ABC}\).

Рассмотрим разбиение площади. Поскольку отрезки \(MN\), \(NP\), \(PM\) образуют внутри \(ABC\) центральный треугольник \(MNP\) и три примыкающих к вершинам подобных треугольника, всё множество внутренних областей без наложений и пробелов можно учесть двумя эквивалентными способами. Во-первых, \(ABC\) разбивается на центральный треугольник и три «угловых» подобия большого: \(S_{ABC}=S_{MNP}+S_{ABP}+S_{BCM}+S_{CAN}\). Во-вторых, если смотреть от большой фигуры к внутренним, то \(S_{ABC}\) представляется как сумма центрального треугольника и трёх малых у сторон: \(S_{ABC}=S_{MNP}+S_{AMN}+S_{BNP}+S_{CMP}\). Из найденных подобий сразу имеем \(S_{AMN}=S_{BNP}=S_{CMP}=\frac{1}{9}S_{ABC}\), поэтому по второй формуле \(S_{MNP}=S_{ABC}-3\cdot\frac{1}{9}S_{ABC}=\left(1-\frac{3}{9}\right)S_{ABC}=\frac{6}{9}S_{ABC}=\frac{2}{3}S_{ABC}\). Однако это противоречит геометрической конфигурации, так как сумма трёх «угловых» треугольников \(\frac{12}{9}S_{ABC}\) не может превышать \(S_{ABC}\); причина в том, что второе «разбиение» не является разбиением \(ABC\): треугольники \(AMN\), \(BNP\), \(CMP\) не покрывают внешние угловые области целиком, а лежат внутри них.

Правильное разбиение учитывает, что каждый угловой треугольник \(ABP\), \(BCM\), \(CAN\) содержит соответствующий малый внутренний треугольник у вершины и дополнительные трапеции. Поэтому верно первое равенство: \(S_{ABC}=S_{MNP}+S_{ABP}+S_{BCM}+S_{CAN}\). Подставляя найденные площади подобных угловых треугольников, получаем \(S_{ABC}=S_{MNP}+3\cdot\frac{4}{9}S_{ABC}=S_{MNP}+\frac{12}{9}S_{ABC}\). Перенося, находим \(S_{MNP}=S_{ABC}-\frac{12}{9}S_{ABC}=\left(1-\frac{12}{9}\right)S_{ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\). Если по условию задана \(S_{MNP}=S\), то искомая площадь всего треугольника равна \(S_{ABC}=3S\).