ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.61 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Два треугольника АВС и \(A_1B_1C_1\) расположены так, что точка B — середина отрезка \(AB_1\), точка C — середина отрезка \(BC_1\), точка A — середина отрезка \(CA_1\). Найдите площадь треугольника \(A_1B_1C_1\), если площадь треугольника АВС равна S.

Точки \(B, C, A\) — середины отрезков \(AB_1, BC_1, CA_1\), значит

\( \vec{B} = \frac{\vec{A} + \vec{B_1}}{2}, \quad \vec{C} = \frac{\vec{B} + \vec{C_1}}{2}, \quad \vec{A} = \frac{\vec{C} + \vec{A_1}}{2} \).

Отсюда

\( \vec{B_1} = 2\vec{B} — \vec{A}, \quad \vec{C_1} = 2\vec{C} — \vec{B}, \quad \vec{A_1} = 2\vec{A} — \vec{C} \).

Векторы сторон треугольника \(A_1B_1C_1\):

\( \vec{A_1B_1} = \vec{B_1} — \vec{A_1} = 2\vec{B} — \vec{A} — (2\vec{A} — \vec{C}) = 2\vec{B} — 3\vec{A} + \vec{C} \),

\( \vec{A_1C_1} = \vec{C_1} — \vec{A_1} = 2\vec{C} — \vec{B} — (2\vec{A} — \vec{C}) = 3\vec{C} — \vec{B} — 2\vec{A} \).

Подставляя \( \vec{AB} = \vec{B} — \vec{A} \) и \( \vec{AC} = \vec{C} — \vec{A} \), получаем

\( \vec{A_1B_1} = 2\vec{AB} + \vec{AC} \),

\( \vec{A_1C_1} = 3\vec{AC} — \vec{AB} \).

Площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) равна

\( S_1 = \frac{1}{2} | \vec{A_1B_1} \times \vec{A_1C_1} | = \frac{1}{2} | (2\vec{AB} + \vec{AC}) \times (3\vec{AC} — \vec{AB}) | \).

Раскрывая скобки и учитывая свойства векторного произведения, получаем

\( S_1 = \frac{1}{2} | 7(\vec{AB} \times \vec{AC}) | = 7 \cdot \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | = 7S \).

Ответ: \( S_1 = 7S \).

1. Точки \(B, C, A\) являются серединами отрезков \(AB_1, BC_1, CA_1\) соответственно. Это значит, что координаты этих точек выражаются через координаты концов отрезков по формуле средней точки:
\( \vec{B} = \frac{\vec{A} + \vec{B_1}}{2} \),
\( \vec{C} = \frac{\vec{B} + \vec{C_1}}{2} \),
\( \vec{A} = \frac{\vec{C} + \vec{A_1}}{2} \).
Из этих уравнений можно выразить координаты точек \(A_1, B_1, C_1\) через точки \(A, B, C\):
\( \vec{B_1} = 2\vec{B} — \vec{A} \),
\( \vec{C_1} = 2\vec{C} — \vec{B} \),
\( \vec{A_1} = 2\vec{A} — \vec{C} \).
Это ключевой шаг, который позволяет перейти от треугольника \(ABC\) к треугольнику \(A_1B_1C_1\).

2. Следующий этап — найти векторы сторон треугольника \(A_1B_1C_1\). Рассмотрим вектор \( \vec{A_1B_1} \), который равен разности координат точек \(B_1\) и \(A_1\):
\( \vec{A_1B_1} = \vec{B_1} — \vec{A_1} = (2\vec{B} — \vec{A}) — (2\vec{A} — \vec{C}) = 2\vec{B} — \vec{A} — 2\vec{A} + \vec{C} = 2\vec{B} — 3\vec{A} + \vec{C} \).
Аналогично для вектора \( \vec{A_1C_1} \):
\( \vec{A_1C_1} = \vec{C_1} — \vec{A_1} = (2\vec{C} — \vec{B}) — (2\vec{A} — \vec{C}) = 2\vec{C} — \vec{B} — 2\vec{A} + \vec{C} = 3\vec{C} — \vec{B} — 2\vec{A} \).
Чтобы выразить эти векторы через стороны исходного треугольника, подставим обозначения \( \vec{AB} = \vec{B} — \vec{A} \) и \( \vec{AC} = \vec{C} — \vec{A} \). Тогда:
\( \vec{A_1B_1} = 2(\vec{A} + \vec{AB}) — 3\vec{A} + (\vec{A} + \vec{AC}) = 2\vec{AB} + \vec{AC} \),
\( \vec{A_1C_1} = 3(\vec{A} + \vec{AC}) — (\vec{A} + \vec{AB}) — 2\vec{A} = 3\vec{AC} — \vec{AB} \).

3. Площадь треугольника \(ABC\) равна половине модуля векторного произведения векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \), то есть
\( S = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | \).
Площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) равна
\( S_1 = \frac{1}{2} | \vec{A_1B_1} \times \vec{A_1C_1} | = \frac{1}{2} | (2\vec{AB} + \vec{AC}) \times (3\vec{AC} — \vec{AB}) | \).
Раскроем векторное произведение, учитывая свойства: \( \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0} \) и антикоммутативность \( \vec{u} \times \vec{v} = — \vec{v} \times \vec{u} \), получаем
\( S_1 = \frac{1}{2} | 6(\vec{AB} \times \vec{AC}) — 0 + 0 — (\vec{AC} \times \vec{AB}) | = \frac{1}{2} | 7(\vec{AB} \times \vec{AC}) | = 7 \cdot \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | = 7S \).
Таким образом, площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) в 7 раз больше площади треугольника \(ABC\).