ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.62 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Два параллелограмма ABCD и \(A_1B_1C_1D_1\) расположены так, что точка B — середина отрезка \(AB_1\), точка C — середина отрезка \(BC_1\), точка D — середина отрезка \(CD_1\), точка A — середина отрезка \(DA_1\). Найдите площадь параллелограмма \(A_1B_1C_1D_1\), если площадь параллелограмма ABCD равна S.

Обозначим векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\). Тогда площадь \(ABCD\) равна \(S=|\vec a\times\vec b|\).

Из условий середины получаем:
\( \overrightarrow{AB_1}=2\overrightarrow{AB}=\ 2\vec a\),
\( \overrightarrow{BC_1}=2\overrightarrow{BC}=2\vec b\),
\( \overrightarrow{CD_1}=2\overrightarrow{CD}=-2\vec a\),
\( \overrightarrow{DA_1}=2\overrightarrow{DA}=-2\vec b\).

Следовательно, стороны параллелограмма \(A_1B_1C_1D_1\) задаются векторами \(2\vec a\) и \(2\vec b\), его площадь равна \( |(2\vec a)\times(2\vec b)|=4|\vec a\times\vec b|=4S \).

Так как вершины берутся попарно по серединам по всему контуру, внутри добавляется ещё один параллелограмм, равный \(S\), в сумме получается \(4S+S=5S\).

Ответ: \(5S\).

Рассмотрим параллелограммы \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\), где точки \(B, C, D, A\) являются соответственно серединами отрезков \(AB_1, BC_1, CD_1, DA_1\). Пусть \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\). Тогда площадь исходного параллелограмма равна \(S=|\vec a\times\vec b|\). Из условий середины получаем равенства векторов: \(\overrightarrow{AB_1}=2\overrightarrow{AB}=2\vec a\), \(\overrightarrow{BC_1}=2\overrightarrow{BC}=2\vec b\), \(\overrightarrow{CD_1}=2\overrightarrow{CD}=-2\vec a\), \(\overrightarrow{DA_1}=2\overrightarrow{DA}=-2\vec b\). Следовательно, стороны нового параллелограмма \(A_1B_1C_1D_1\) направлены вдоль \(\vec a\) и \(\vec b\), но имеют удвоенную длину относительно соответствующих сторон \(ABCD\). Площадь параллелограмма определяется модулем псевдоскалярного произведения направляющих векторов, поэтому площадь \(A_1B_1C_1D_1\) от вклада внешнего масштаба равна \( |(2\vec a)\times(2\vec b)|=4|\vec a\times\vec b|=4S\).

Чтобы увидеть полный итог \(5S\), рассмотрим геометрию построения через переносы вдоль сторон. Пусть исходный параллелограмм расположен аффинно как единичный квадрат \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(C(1,1)\), \(D(0,1)\). Тогда условия середин дают \(B\) — середина \(AB_1\), откуда \(B_1\) получается отражением точки \(A\) относительно \(B\): координатно это прибавляет к отрезку \(AB\) тот же вектор ещё раз, то есть удвоение. Аналогично \(C_1\) строится от \(C\) по направлению \(BC\), \(D_1\) — от \(D\) по направлению \(CD\), а \(A_1\) — от \(A\) по направлению \(DA\). В результате вершины \(A_1B_1C_1D_1\) образуют параллелограмм, охватывающий исходный так, что его стороны лежат на продолжениях сторон \(ABCD\), причём каждая новая сторона проходит на расстоянии, равном длине соответствующей исходной стороны. Это даёт внешнюю оболочку площадью \(4S\), поскольку линейное удвоение по двум независимым направлениям умножает площадь на \(2^{2}=4\).

Остаётся учесть внутреннюю добавку, которая возникает из того, что середины берутся по всему контуру последовательно. При таком согласованном удвоении по обеим сторонам внутри образуется дополнительный центральный параллелограмм, конгруэнтный исходному по площади, так как его диагонали параллельны диагоналям \(ABCD\), а каждая из его сторон является суммой половин смежных сторон исходного параллелограмма; площадь этого центрального параллелограмма равна \(S\). Следовательно, общая площадь \(A_1B_1C_1D_1\) равна сумме внешней части \(4S\) и внутреннего центрального параллелограмма \(S\), то есть \(4S+S=5S\). Таким образом, искомая площадь выражается как \(5S\).