ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.63 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 В треугольник АВС вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Периметр треугольника KBL равен 10 см. Найдите сторону AC, если периметр треугольника АВС равен 24 см.

Периметр вписанного с касательной: касательная касается окружности, поэтому \(KB=KL\) и \(LB=LK\). Следовательно, периметр \(KBL\) равен \(KB+BL+KL=(KB+BL)+LK=AB+BC-AC\).

По условию \(AB+BC-AC=10\) и \(AB+BC+AC=24\).

Сложим уравнения: \(2(AB+BC)=34 \Rightarrow AB+BC=17\). Тогда \(AC=24-17=14\) см.

1) Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник \(ABC\). Касательная прямая пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно, образуя треугольник \(KBL\). Из свойства касательных к окружности из одной точки: отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны. Поэтому из точки \(K\) к окружности равны отрезки касательных до точек касания на \(AB\) и на продолжении, но нам важнее, что на стороне \(AB\) отрезок касательной от \(K\) до точки касания равен соответствующему отрезку от \(B\); аналогично для точки \(L\) на стороне \(BC\). В контексте периметра треугольника \(KBL\) это даёт связь: длина \(KB\) на стороне \(AB\) дополняет \(AB\) до полной суммы касательных из \(K\) и из \(B\), а длина \(LB\) аналогично дополняет \(BC\). При этом отрезок \(KL\) равен сумме касательных из \(K\) и из \(L\) вдоль внешней линии, что в совокупности позволяет заменить сумму \(KB+BL+KL\) выражением через стороны исходного треугольника.

2) Стандартная формула, получаемая из равенства касательных и разбивки сторон треугольника касательными отрезками, такова: периметр треугольника, образованного касательной и двумя сторонами исходного треугольника, равен разности периметра исходного треугольника и третьей стороны, не пересечённой касательной. В нашем случае касательная пересекает стороны \(AB\) и \(BC\), поэтому для периметра треугольника \(KBL\) верно \(P_{KBL}=AB+BC-AC\). Действительно, сумма \(KB+BL\) по свойствам касательных складывается в \(AB+BC\) за вычетом соответствующих равных отрезков у точки \(B\), а добавление \(KL\) компенсирует эти вычеты, оставляя ровно разность с \(AC\). Следовательно, имеем равенство \(KB+BL+KL=AB+BC-AC\).

3) По условию известны два периметра: \(P_{KBL}=10\) и \(P_{ABC}=24\). Тогда получаем систему уравнений \(AB+BC-AC=10\) и \(AB+BC+AC=24\). Складываем уравнения почленно, получаем \(2(AB+BC)=34\), откуда \(AB+BC=17\). Подставляя в периметр исходного треугольника, находим искомую сторону \(AC=24-17=14\) см.