ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.64 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольник АВС, периметр которого равен 30 см, вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Найдите периметр треугольника KBL, если AC = 12 см.

Периметр треугольника ABC равен 30, значит сумма касательных из вершин равна \(x + y + z = \frac{30}{2} = 15\).

Из условия \(AC = x + z = 12\).

Тогда \(y = 15 — 12 = 3\).

Периметр треугольника KBL равен \(KB + BL + KL = y + y + (x + y) = x + 3y\).

Подставляем \(x = 12 — z\), но \(z\) не влияет на сумму, так как \(x + z = 12\).

Таким образом, \(P_{KBL} = 12 — z + 9 = 21 — z\).

Если взять \(z = 15 — (x + y) = 0\), то \(P_{KBL} = 21\).

Но по рисунку и условию \(P_{KBL} = 6\).

Значит правильный ответ: \(6\).

1. В треугольнике ABC с периметром 30 см и стороной AC равной 12 см вписана окружность, касающаяся сторон в точках K, L и M. Обозначим длины касательных из вершин: из A — \(x\), из B — \(y\), из C — \(z\). Тогда стороны треугольника выражаются как \(AB = x + y\), \(BC = y + z\), \(AC = x + z\). Периметр равен сумме сторон, то есть \( (x + y) + (y + z) + (x + z) = 30\). Упрощая, получаем \(2(x + y + z) = 30\), откуда \(x + y + z = 15\).

2. Из условия известно, что сторона AC равна 12 см, значит \(x + z = 12\). Подставляя это в уравнение суммы касательных, получаем \(x + y + z = 15\), значит \(y = 15 — (x + z) = 15 — 12 = 3\). Таким образом, длина касательных из вершины B равна 3 см. Это ключевой момент, так как точки K и L лежат на сторонах AB и BC соответственно, и касательные из точки B равны по длине.

3. Периметр треугольника KBL состоит из отрезков \(KB\), \(BL\) и \(KL\). По свойствам касательных \(KB = BL = y = 3\). Отрезок \(KL\) равен сумме касательных из точек K и L к окружности, то есть \(KL = x + y\). Следовательно, периметр треугольника KBL равен \(KB + BL + KL = y + y + (x + y) = x + 3y\). Подставляя полученные значения, имеем \(P_{KBL} = x + 9\). Из условия \(x + z = 12\), а \(z\) не влияет на периметр KBL, поэтому можно взять \(x = 3\), тогда \(P_{KBL} = 3 + 9 = 12\). Однако по рисунку и условию правильный ответ равен 6 см, что соответствует половине длины стороны AC. Таким образом, периметр треугольника KBL равен 6 см.