ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.65 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты \(AA_1\) и \(CC_1\). Точка O — центр окружности, описанной около треугольника АВС. Докажите, что отрезки BO и \(A_1C_1\) перпендикулярны.

Рассмотрим остроугольный \(\triangle ABC\) с высотами \(AA_1\) и \(CC_1\) и центром описанной окружности \(O\).

Заметим, что \(\angle BA_1C = 90^\circ\) и \(\angle BC_1A = 90^\circ\), значит \(A_1\) и \(C_1\) лежат на окружности с диаметром \(BC\). Следовательно, середина дуги \(BC\) описанной окружности треугольника \(ABC\) есть точка \(M\) такая, что \(BM\) является серединным перпендикуляром к хорде \(A_1C_1\) этой окружности с диаметром \(BC\).

Центр окружности с диаметром \(BC\) — середина \(BC\), а её радиус перпендикулярен хорде \(A_1C_1\) в точке её середины. Но прямая \(BO\) — это ось угла \(\angle ABC\) в окружности, описанной около \(\triangle ABC\), и она одновременно является перпендикуляром к диаметру \(BC\) в его середине и совпадает с серединным перпендикуляром к хорде \(A_1C_1\) окружности с диаметром \(BC\).

Следовательно, \(BO \perp A_1C_1\).

1) В остроугольном треугольнике \(ABC\) высоты \(AA_1\) и \(CC_1\) по определению перпендикулярны соответствующим сторонам: \(AA_1 \perp BC\) и \(CC_1 \perp AB\). Следовательно, углы \(\angle BA_1C=90^\circ\) и \(\angle BC_1A=90^\circ\). Это означает, что точки \(A_1\) и \(C_1\) видят отрезок \(BC\) под прямым углом. По теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, любая точка окружности с диаметром \(BC\) образует прямой угол, следовательно, \(A_1\) и \(C_1\) лежат на окружности \(\omega\) с диаметром \(BC\). Центр этой окружности есть середина отрезка \(BC\), обозначим её \(M\), а радиусами являются \(MB\) и \(MC\).

2) Рассмотрим хорду \(A_1C_1\) окружности \(\omega\). Серединный перпендикуляр к любой хорде проходит через центр окружности, поэтому прямая, перпендикулярная \(A_1C_1\) и проходящая через \(M\), есть геометрическое место точек, равноудалённых от \(A_1\) и \(C_1\). Обозначим эту прямую \(l\). Нам достаточно показать, что \(BO\) совпадает с \(l\). Для этого заметим, что четырёхугольник \(ABOC\) является вписанным в окружность, описанную около \(\triangle ABC\), где \(O\) — её центр, а \(BO\) — радиус этой окружности. Угол \(\angle BOC\) является центральным и равен \(2\angle BAC\). При этом биссектриса угла \(\angle ABC\) проходит через середину дуги \(AC\) без точки \(B\), но важнее то, что луч \(BO\) перпендикулярен касательной к описанной окружности в точке \(B\) и одновременно является осью симметрии всех хорд, равноположенных относительно вершины \(B\).

3) Свяжем теперь окружности: окружность \(\omega\) с диаметром \(BC\) и описанную окружность \(\Gamma\) треугольника \(ABC\). Из прямых углов следует, что четырехугольники \(BA_1OC_1\) и \(BA_1MC_1\) имеют по две вершины на прямых, перпендикулярных \(BC\). Векторно-угловое соотношение даёт равенство ориентированных углов \(\angle BA_1C=\angle BC_1A=90^\circ\), откуда дуги \(BA_1\) и \(BC_1\) окружности \(\omega\) симметричны относительно перпендикуляра к \(BC\) через \(M\). Следовательно, серединный перпендикуляр к хорде \(A_1C_1\) есть именно перпендикуляр к \(BC\), проведённый через \(M\). Но прямая \(BO\), поскольку \(O\) — центр \(\Gamma\), является осью симметрии конфигурации относительно вершины \(B\) и, в частности, перпендикулярна \(BC\) тогда и только тогда, когда проходит через середину \(BC\). В силу свойств остроугольного треугольника и ортоцентрического набора \(A_1,C_1\) получаем, что проекция \(O\) на \(BC\) есть \(M\), то есть \(BO\) проходит через \(M\).

4) Так как \(BO\) проходит через \(M\), а \(l\) — единственный серединный перпендикуляр к хорде \(A_1C_1\) окружности \(\omega\), то \(BO=l\). Значит, \(BO\) перпендикулярна хорде \(A_1C_1\), то есть \(BO \perp A_1C_1\). Это и требовалось доказать.