ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.66 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через вершины A и C треугольника АВС проведена окружность, пересекающая стороны BA и BC в точках M и N соответственно. Прямая BF — касательная к окружности, описанной около треугольника АВС. Докажите, что прямые MN и BF параллельны.

Через точки \(A\) и \(C\) проведена окружность, пересекающая \(BA\) в \(M\) и \(BC\) в \(N\). Пусть \(BF\) — касательная к описанной около \(\triangle ABC\) окружности в точке \(B\).

— По теореме о вписанном угле угол, опирающийся на дугу \(AC\), одинаков: \(\angle AMN=\angle ACN\), так как точки \(A,M,N,C\) лежат на одной окружности.
— По теореме о касательной и секущей \(\angle FBA\) равен углу, опирающемуся на ту же дугу \(AC\): \(\angle FBA=\angle ACB\); аналогично \(\angle FBC=\angle CAB\).
— Следовательно, соответствующие углы при прямых \(MN\) и \(BF\) равны: \(\angle AMN=\angle FBA\) и \(\angle ACN=\angle FBC\).

Так как равны накрест лежащие углы, то \(MN\parallel BF\).

1. Рассмотрим окружность, проходящую через точки \(A\) и \(C\) и пересекающую стороны треугольника \(BA\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Тогда четыре точки \(A,M,N,C\) лежат на одной окружности, то есть образуют циклический четырёхугольник. Для любых двух точек этой окружности углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол \(\angle AMN\) является вписанным и опирается на дугу \(AC\). Точно так же угол \(\angle ACN\) тоже вписанный и опирается на ту же дугу \(AC\). Следовательно, по свойству вписанных углов получаем равенство \(\angle AMN=\angle ACN\). Это ключевой факт: все вписанные углы, которые опираются на одну дугу \(AC\), равны между собой, независимо от положения вершин \(M\) и \(N\) на окружности.

2. Пусть прямая \(BF\) касается описанной вокруг \(\triangle ABC\) окружности в точке \(B\). По теореме о касательной и секущей угол между касательной \(BF\) и хордой \(BA\) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, которую определяет эта хорда в окружности, то есть \(\angle FBA=\angle ACB\). Аналогично угол между касательной \(BF\) и хордой \(BC\) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \(AC\), то есть \(\angle FBC=\angle CAB\). Важно заметить, что в треугольнике \(ABC\) вписанные углы \(\angle ACB\) и \(\angle CAB\) опираются на дуги \(AB\) и \(BC\) соответственно, а через дугу \(AC\) связаны углы, расположенные на окружности через \(A\) и \(C\). Таким образом, углы при касательной \(BF\) выражаются через углы треугольника, которые, в свою очередь, связаны с дугой \(AC\) так же, как и углы \(\angle AMN\) и \(\angle ACN\) на окружности через \(A\) и \(C\).

3. Сопоставим пары углов на прямых \(MN\) и \(BF\). Угол \(\angle AMN\) опирается на дугу \(AC\), и угол \(\angle FBA\) по теореме о касательной равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу \(AC\); значит, \(\angle AMN=\angle FBA\). Аналогично \(\angle ACN=\angle FBC\). Эти пары являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \(MN\) и \(BF\) с соответствующими секущими через вершину \(B\) и точки \(M,N\). Равенство накрест лежащих углов даёт признак параллельности: если при двух прямых образуются равные накрест лежащие углы, то эти прямые параллельны. Следовательно, из установленных равенств \(\angle AMN=\angle FBA\) и \(\angle ACN=\angle FBC\) делаем вывод \(MN\parallel BF\).