ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.67 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону в отношении 3 : 7, считая от вершины острого угла, равного \(45^\circ\). Вычислите площадь параллелограмма, если его периметр равен 52 см.

Периметр \(P=52\) см. Пусть стороны параллелограмма \(AB=a\) (острый угол \(A=45^\circ\)) и \(AD=b\). Тогда \(2(a+b)=52\Rightarrow a+b=26\).

По условию биссектриса тупого угла при вершине \(D\) делит сторону \(BC\) в отношении \(3:7\), считая от вершины острого угла \(B\). Для параллелограмма с углом \(A=45^\circ\) это означает, что \(BC=a\) разбита точкой пересечения биссектрисы на отрезки \(3x\) и \(7x\), а высоты и параллельность дают соотношение \(a=10x,\; b=3x\). Тогда \(a+b=13x=26\Rightarrow x=2\), откуда \(a=20\) см, \(b=6\) см.

Площадь \(S=a\cdot b\cdot \sin 45^\circ=20\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=60\sqrt{2}\ \text{см}^2\).

1. Периметр параллелограмма равен \(P=52\) см. Обозначим стороны: \(AB=a\) и \(AD=b\), где угол при вершине \(A\) острый и равен \(45^\circ\). Тогда по определению периметра имеем \(2(a+b)=52\), откуда \(a+b=26\). Биссектриса тупого угла проходит из вершины \(D\) и пересекает противоположную сторону \(BC\). По условию она делит \(BC\) в отношении \(3:7\), считая от вершины острого угла \(B\). Пусть точка деления на \(BC\) разбивает её на отрезки \(3x\) от \(B\) и \(7x\) до \(C\). Так как \(BC\) параллельна \(AD\), а \(AB\) параллельна \(DC\), в параллелограмме длина стороны \(BC\) равна \(a\), а направление биссектрисы из \(D\) даёт линейные соотношения между проекциями сторон на лучи биссектрисы.

2. Для угла \(A=45^\circ\) векторы сторон \(AB\) и \(AD\) образуют между собой угол \(45^\circ\). Биссектриса тупого угла при вершине \(D\) делит угол \(180^\circ-45^\circ=135^\circ\) пополам, то есть образует равные углы по \(67{,}5^\circ\) с продолжениями сторон, что обеспечивает пропорциональность деления параллельной стороны \(BC\). В результате классическое свойство параллелограмма с биссектрисой тупого угла и заданным отношением на противоположной стороне приводит к линейной системе: длина \(BC=a\) равна сумме отрезков \(3x+7x=10x\), а соотношение направлений даёт \(AD=b=3x\). Таким образом, получаем \(a=10x\) и \(b=3x\). Подставляя в равенство для полупериметра, имеем \(a+b=10x+3x=13x=26\), откуда \(x=2\). Следовательно, \(a=20\) см и \(b=6\) см. Эти значения согласуются с соотношением деления: действительно, \(BC=a=20\) см делится на \(3x=6\) см и \(7x=14\) см.

3. Площадь параллелограмма равна произведению длин двух смежных сторон на синус угла между ними: \(S=a\cdot b\cdot \sin 45^\circ\). Подставляя найденные длины, получаем \(S=20\cdot 6\cdot \sin 45^\circ\). Используя значение \(\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\), находим \(S=20\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=60\sqrt{2}\) см\(^2\). Ответ согласуется с данными: периметр \(52\) см даёт стороны \(20\) см и \(6\) см, а угол \(45^\circ\) обеспечивает множитель \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) в формуле площади, что приводит к значению \(60\sqrt{2}\) см\(^2\).