ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.68 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Биссектриса угла D прямоугольника ABCD пересекает сторону AB в точке M, BM = 5 см, AD = 3 см. Найдите периметр прямоугольника.

Биссектриса угла \(D\) делит сторону \(AB\) на равные отрезки относительно диагонали, поэтому \(AM = MD = AD = 3\) см, а значит \(AB = AM + MB = 3 + 5 = 8\) см.

Периметр прямоугольника: \(P = 2(AB + AD) = 2(8 + 3) = 22\) см.

1. Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\) с биссектрисой угла \(D\), которая из вершины \(D\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(M\). Угол \(D\) прямой, следовательно, диагональ \(DB\) делит его на два равных угла, а биссектриса совпадает с диагональю \(DB\). Для прямоугольника диагональ является осью симметрии относительно угла \(D\): она равномерно «разрезает» прилежащие стороны, выходящие из \(D\), т.е. перпендикулярные отрезки, опущенные на \(AB\), получаются равными. В нашей задаче это значит, что точки деления на стороне \(AB\) при проведении биссектрисы из \(D\) образуют равные отступы от оснований перпендикуляров, и потому длина отрезка \(AM\) оказывается равной длине стороны, прилегающей к углу \(D\), то есть \(AD\).

2. Формально используем свойство: для прямоугольника биссектриса прямого угла из вершины \(D\), совмещаясь с диагональю \(DB\), пересекает противоположную сторону \(AB\) в такой точке \(M\), что \(AM = AD\). По условию \(AD = 3\) см, следовательно \(AM = 3\) см. Нам также известна длина \(BM = 5\) см. Тогда полная длина стороны \(AB\) равна сумме отрезков \(AM\) и \(BM\): \(AB = AM + BM = 3 + 5 = 8\) см. Таким образом, мы восстановили одну из сторон прямоугольника, зная положение биссектрисы и заданные отрезки.

3. Периметр прямоугольника определяется как удвоенная сумма его смежных сторон. Имеем стороны \(AB\) и \(AD\), поэтому \(P = 2(AB + AD)\). Подставляем найденные значения: \(AB = 8\) см и \(AD = 3\) см, получаем \(P = 2(8 + 3) = 2 \cdot 11 = 22\) см. Ответ согласуется с чертежом: биссектриса совпадает с диагональю, даёт \(AM = 3\) см, суммирование с \(BM = 5\) см даёт \(AB = 8\) см, а итоговый периметр равен \(22\) см.