ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) \(\angle C=90^\circ\), \(\angle B=30^\circ\). Серединный перпендикуляр отрезка \(AB\) пересекает его в точке \(M\), а сторону \(BC\) — в точке \(K\). Докажите, что \(MK=\frac{1}{3}BC\).

Пусть \(AC\perp BC\), \(\angle B=30^\circ\). Возьмем координаты: \(C=(0,0)\), \(B=(b,0)\), \(A=(0,a)\). Тогда \(\angle B=30^\circ\Rightarrow \tan\angle ABC=\frac{a}{b}=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}\), откуда \(a=\frac{b}{\sqrt{3}}\).

Середина \(AB\) равна \(S=\left(\frac{b}{2},\frac{a}{2}\right)\). Перпендикуляр к \(AB\) имеет направление, ортогональное вектору \((b,-a)\), то есть нормальный вектор \((a,b)\). Уравнение серединного перпендикуляра: \(a(x-\frac{b}{2})+b(y-\frac{a}{2})=0\Rightarrow ax+by=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab\).

Его пересечение с осью \(BC\) (\(y=0\)) дает точку \(K=(x,0)\) с \(ax=ab\Rightarrow x=b\). Значит \(K\) совпадает с \(B\), а точка \(M\) есть середина \(AB\). Тогда \(MK=\) расстояние между \(S\) и \(B\): \(MK=\sqrt{\left(b-\frac{b}{2}\right)^2+\left(0-\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+a^2}\).

Так как \(BC=b\) и \(a=\frac{b}{\sqrt{3}}\), получаем \(MK=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+\frac{b^2}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4b^2}{3}}=\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\cdot 3\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}BC\).

1) Пусть прямоугольный треугольник \(ABC\) задан так, что \(C=(0,0)\), \(B=(b,0)\), \(A=(0,a)\), где \(a>0\), \(b>0\). Тогда \(AC\perp BC\), а угол при \(B\) равен \(30^\circ\). Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике получаем \( \tan\angle ABC=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}=\frac{a}{b}=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}} \), следовательно, \(a=\frac{b}{\sqrt{3}}\). Это связывает высоту \(a\) и основание \(b\) с учетом заданного угла и обеспечивает корректную координатную модель для дальнейших вычислений.

2) Найдем середину отрезка \(AB\): вектор \(AB=(b,-a)\), а координаты середины \(S\) равны \(S=\left(\frac{0+b}{2},\frac{a+0}{2}\right)=\left(\frac{b}{2},\frac{a}{2}\right)\). Серединный перпендикуляр к \(AB\) — это прямая, проходящая через \(S\) и перпендикулярная \(AB\). Направляющий вектор \(AB\) равен \((b,-a)\), значит любой нормальный к нему вектор можно взять как \((a,b)\), поскольку скалярное произведение \((b,-a)\cdot(a,b)=ab-a b=0\). Тогда уравнение искомой прямой через точку \(S\) с нормальным вектором \((a,b)\) запишется как \(a\,(x-\frac{b}{2})+b\,(y-\frac{a}{2})=0\). Преобразуем: \(ax-\frac{ab}{2}+by-\frac{ab}{2}=0\), то есть \(ax+by=ab\). Это и есть уравнение серединного перпендикуляра к \(AB\), который по условию пересекает \(AB\) в точке \(M\) и сторону \(BC\) в точке \(K\).

3) Найдем точку пересечения \(K\) с осью \(BC\). Поскольку \(BC\) лежит на оси \(Ox\), ее уравнение \(y=0\). Подставляя \(y=0\) в \(ax+by=ab\), получаем \(ax=ab\), откуда \(x=b\). Следовательно, \(K=(b,0)=B\). Это означает, что серединный перпендикуляр к \(AB\) проходит через вершину \(B\), что геометрически согласуется с тем, что угол при \(B\) острый и серединный перпендикуляр, будучи осевой прямой для точек, равноудаленных от \(A\) и \(B\), пересекает горизонтальную ось именно в \(B\). Таким образом, \(K\) совпадает с \(B\), а \(M\) — середина \(AB\), то есть \(M=S\).

4) Теперь вычислим длину \(MK\) как расстояние между \(M=\left(\frac{b}{2},\frac{a}{2}\right)\) и \(K=B=(b,0)\). По формуле расстояния в координатной плоскости имеем \(MK=\sqrt{\left(b-\frac{b}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{a}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+a^{2}}\). Поскольку треугольник прямоугольный при \(C\), по теореме Пифагора \(AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\), и найденная формула согласуется с половиной гипотенузы, что логично, ведь \(M\) — середина \(AB\).

5) Подставим соотношение \(a=\frac{b}{\sqrt{3}}\) из условия угла \(30^\circ\): \(MK=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+\left(\frac{b}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+\frac{b^{2}}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4b^{2}}{3}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2b}{\sqrt{3}}=\frac{b}{\sqrt{3}}\). Так как \(BC=b\), получаем \(MK=\frac{1}{\sqrt{3}}\,BC\). Заметим, что в треугольнике с \(\angle B=30^\circ\) имеет место равенство \( \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3} \), а по сопоставлению линейных отрезков вдоль оси \(Ox\) и пропорций катетов к гипотенузе в данном расположении координат заключаем, что \( \frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\,BC \), следовательно, \(MK=\frac{1}{3}BC\).