ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.70 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 В треугольнике АВС проведена медиана \(AA_1\). Через точку C проведён отрезок FN, равный отрезку \(AA_1\) и параллельный ему. Найдите площадь четырёхугольника \(AFNA_1\), если площадь треугольника ABC равна S.

Пусть \(AA_1\) — медиана, значит \(A_1\) — середина \(BC\) и векторно \( \overrightarrow{AA_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\). Построено \(FN \parallel AA_1\) и \(|FN|=|AA_1|\), поэтому \(AFNA_1\) — параллелограмм со сторонами, сонаправленными \(\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Площадь \(AFNA_1\) равна модулю векторного произведения этих сторон: \(|[\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{AC}]|\). Тогда \(|[\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{AC}]|=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}]|=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|=S\), так как \([\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}]=0\) и площадь \(\triangle ABC\) равна \(S=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|\).

Ответ: \(S\).

Пусть \(AA_1\) — медиана треугольника \(ABC\), тогда точка \(A_1\) является серединой отрезка \(BC\). В векторной форме при выборе начала в точке \(A\) получаем \( \overrightarrow{AA_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\). Через точку \(C\) проведён отрезок \(FN\), параллельный \(AA_1\) и равный ему по длине, то есть \(FN \parallel AA_1\) и \(|FN|=|AA_1|\). Это гарантирует, что четырёхугольник \(AFNA_1\) имеет противоположные стороны попарно параллельными и равными, следовательно, \(AFNA_1\) является параллелограммом, у которого одна сторона сонаправлена с \(AA_1\), а соседняя сонаправлена с \(AC\).

Рассмотрим площади через смешанное произведение плоских векторов. Площадь параллелограмма на векторах \(u\) и \(v\) равна модулю псевдоскаляра \(|[u,v]|\), а площадь треугольника равна \(\frac{1}{2}|[u,v]|\). Так как смежные стороны параллелограмма \(AFNA_1\) можно выбирать как векторы, сонаправленные \( \overrightarrow{AA_1}\) и \( \overrightarrow{AC}\), его площадь равна \(|[\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{AC}]|\). Подставляя \( \overrightarrow{AA_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\), получаем \(|[\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{AC}]|=\left|\left[\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),\overrightarrow{AC}\right]\right|=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]+[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}]|\). Поскольку \([\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}]=0\), имеем \(|[\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{AC}]|=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|\).

Заметим, что площадь треугольника \(ABC\) равна \(S=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|\). Сопоставляя полученные выражения, заключаем, что площадь параллелограмма \(AFNA_1\) равна \(S\). Геометрически это объясняется тем, что вектор \( \overrightarrow{AA_1}\) есть средний из векторов \( \overrightarrow{AB}\) и \( \overrightarrow{AC}\), поэтому построение через точку \(C\) отрезка, параллельного и равного \(AA_1\), «переносит» одну сторону параллелограмма в позицию, при которой площадь параллелограмма получается равной площади исходного треугольника \(ABC\), то есть \(S\). Ответ: \(S\).