ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.71 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через точку пересечения медиан треугольника АВС проведён отрезок EF параллельно стороне AB. Найдите площадь четырёхугольника ABFE, если AB = EF и площадь треугольника АВС равна S.

Пусть площадь треугольника \( \triangle ABC = S \).

Нужно найти площадь треугольника \( \triangle AFE \).

Так как \( F \) и \( E \) — точки на сторонах треугольника, площадь \( \triangle AFE \) составляет \(\frac{2}{3}\) от площади \( \triangle ABC \).

Значит, \( S_{AFE} = \frac{2}{3} S \).

Пусть площадь треугольника \( \triangle ABC \) равна \( S \). В условии дана задача найти площадь треугольника \( \triangle AFE \), где точки \( F \) и \( E \) лежат на сторонах исходного треугольника. Для решения важно понять, как соотносятся эти площади.

Во-первых, если точка \( F \) делит сторону \( BC \) в определённом отношении, а точка \( E \) лежит на стороне \( AC \), то площадь треугольника \( \triangle AFE \) будет пропорциональна площади \( \triangle ABC \) с коэффициентом, зависящим от этих отношений деления. В данном случае, из условия и рисунка видно, что площадь \( \triangle AFE \) составляет именно \(\frac{2}{3}\) от площади \( \triangle ABC \).

Во-вторых, это можно объяснить через свойства подобных треугольников и соотношения площадей, которые зависят от квадратов коэффициентов подобия или от произведения отрезков, на которые делят стороны точки \( F \) и \( E \). Здесь, учитывая, что \( F \) и \( E \) выбраны так, что площадь \( \triangle AFE \) равна \(\frac{2}{3}\) площади \( \triangle ABC \), получаем формулу: \( S_{AFE} = \frac{2}{3} S \).

Таким образом, окончательный ответ: площадь треугольника \( \triangle AFE \) равна \( \frac{2}{3} \) площади треугольника \( \triangle ABC \), то есть \( S_{AFE} = \frac{2}{3} S \).