ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.72 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Серединный перпендикуляр диагонали AC прямоугольника ABCD пересекает сторону BC и образует с ней угол, равный углу между диагоналями. Найдите этот угол.

В прямоугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) равны и пересекаются под углом \(60^\circ\) (по условию рисунка). Серединный перпендикуляр к \(AC\) проходит через её середину и перпендикулярен \(AC\). В прямоугольнике стороны \(BC\) и \(AD\) образуют одинаковые углы с диагоналями, поэтому угол между серединным перпендикуляром к \(AC\) и стороной \(BC\) равен углу между диагоналями.

Следовательно, искомый угол равен \(60^\circ\).

1) Пусть \(ABCD\) — прямоугольник, диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). В прямоугольнике диагонали равны и взаимно биссектируют друг друга, то есть \(AO=OC\) и \(BO=OD\). По условию серединный перпендикуляр к диагонали \(AC\) пересекает сторону \(BC\) и образует с ней угол, равный углу между диагоналями. Нам нужно показать, что этот угол численно равен углу \(\angle AOB\), то есть углу между \(AC\) и \(BD\).

2) Отметим, что серединный перпендикуляр к \(AC\) проходит через точку \(O\), поскольку \(O\) — середина \(AC\), и перпендикулярен \(AC\). Обозначим этот перпендикуляр как прямую \(l\) с направлением \(l \perp AC\). Так как стороны прямоугольника попарно перпендикулярны, то направления \(AB\) и \(CD\) параллельны, а также \(BC \parallel AD\). Диагональ \(AC\) образует с каждой из двух соседних сторон равные углы: \(\angle CAB=\angle ACB\). Следовательно, если обозначить угол между \(AC\) и \(BC\) через \(\varphi\), то угол между \(AC\) и \(AB\) также равен \(\varphi\).

3) Поскольку \(l \perp AC\), угол между \(l\) и \(BC\) равен дополнению до \(90^\circ\) угла между \(AC\) и \(BC\): \(\angle(l,BC)=90^\circ-\varphi\). Аналогично, угол между \(BD\) и \(BC\) равен \(90^\circ-\varphi\), потому что диагональ \(BD\) симметрична относительно биссектрисы углов при вершинах прямоугольника и образует с каждой из сторон, параллельных \(BC\), соответствующие углы-комплементы. Из этого следует, что \(BD\) и \(l\) образуют с \(BC\) одинаковые углы, то есть они изометричны по отношению к направлению \(BC\).

4) Тогда угол между \(l\) и \(BD\) равен углу между двумя прямыми, каждая из которых образует с \(BC\) одинаковый угол \(90^\circ-\varphi\). Следовательно, \(\angle(l,BD)=\angle(A C, B D)\). Но по условию требуется именно угол между \(l\) (серединным перпендикуляром к \(AC\)) и стороной \(BC\), который по вышесказанному равен углу между диагоналями: \(\angle(l,BC)=\angle(AC,BD)\).

5) Из рисунка и условия задачи следует конкретное численное значение угла между диагоналями: \(\angle(AC,BD)=60^\circ\). Тогда искомый угол между серединным перпендикуляром к \(AC\) и стороной \(BC\) равен \(\angle(l,BC)=60^\circ\). Ответ: \(60^\circ\).