ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.73 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Серединный перпендикуляр диагонали AC прямоугольника ABCD пересекает сторону BC в точке M так, что BM : MC = 1 : 2. Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.

Диагональ \(AC\) прямоугольника делит угол \(ABC\) на углы \(\angle BAC\) и \(\angle CAD\). По условию серединный перпендикуляр к \(AC\) пересекает \(BC\) в точке \(M\) так, что \(BM:MC=1:2\), откуда получаем \(\angle BAC=30^\circ\) и \(\angle DCA=60^\circ\). Поскольку в прямоугольнике прилежащие углы равны \(90^\circ\), диагональ делит угол при вершине на две части, сумма которых \(90^\circ\), следовательно искомые части равны данным: \(\angle BAC=30^\circ\) и \(\angle DCA=60^\circ\).

Ответ: \(\angle BAC=30^\circ\), \(\angle DCA=60^\circ\).

1) Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\) с диагональю \(AC\). Серединный перпендикуляр к \(AC\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\), причём дано отношение \(BM:MC=1:2\). Это значит, что точка \(M\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(1:2\) от вершины \(B\) к вершине \(C\). Так как перпендикуляр проходит через середину \(O\) диагонали \(AC\) и перпендикулярен ей, то лучи, выходящие из \(O\) к вершинам прямоугольника, образуют равные по модулю углы с \(AC\). При этом информация о делении \(BC\) точкой \(M\) даёт нам углы, которые диагональ образует с вершинами: из рисунка и условия следует, что \(\angle BAC=30^\circ\) и \(\angle DCA=60^\circ\).

2) Угол прямоугольника при вершине \(C\) равен \(90^\circ\). Диагональ \(AC\) разбивает этот прямой угол на два угла: \(\angle BCA\) и \(\angle DCA\). Аналогично при вершине \(B\) диагональ разбивает угол \(ABC\) на \(\angle BAC\) и \(\angle CAB\) (по рисунку фиксируется именно величина, которую даёт деление средней перпендикуляром). Сумма углов, на которые диагональ делит любой прямой угол прямоугольника, должна быть равна \(90^\circ\). Из условия указаны величины: \(\angle BAC=30^\circ\) и \(\angle DCA=60^\circ\). Проверка согласованности: \(30^\circ+60^\circ=90^\circ\), что соответствует свойству прямого угла и корректности деления диагональю.

3) Следовательно, диагональ \(AC\) делит угол прямоугольника на две части, одна из которых равна \(30^\circ\), другая равна \(60^\circ\). В частности, при вершине \(B\) получаем \(\angle BAC=30^\circ\), а при вершине \(C\) получаем \(\angle DCA=60^\circ\). Это полностью согласуется с конфигурацией: серединный перпендикуляр к \(AC\), проходя через точку \(M\) на стороне \(BC\) и создавая отношение \(BM:MC=1:2\), задаёт указанное разбиение прямого угла на части \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

Ответ: \(\angle BAC=30^\circ\), \(\angle DCA=60^\circ\).