ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.74 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна a, а один из углов — \(60^\circ\). Найдите площадь трапеции.

В равнобочной трапеции, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме боковых сторон: \(BC+AD=AB+CD=2a\).

Проведём высоту \(BH\) к основанию. При угле при основании \(60^\circ\) высота равна \(BH=a\sin 60^\circ=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Это и есть высота трапеции.

Площадь трапеции: \(S=\frac{(BC+AD)\cdot h}{2}=\frac{2a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: \(S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\).

1. Рассмотрим равнобочную трапецию, описанную около окружности, то есть окружность касается всех её сторон. Для любой многоугольной фигуры, описанной около окружности, верна характеристика касательных: суммы противоположных сторон равны. Значит для трапеции получаем равенство сумм оснований и боковых сторон: \(BC+AD=AB+CD\). Поскольку трапеция равнобочная, её боковые стороны равны: \(AB=CD=a\). Тогда из свойства касательных следует \(BC+AD=AB+CD=2a\). Это ключевое соотношение, позволяющее выразить сумму оснований через известную боковую сторону, не зная длины каждого основания отдельно.

2. Пусть угол при основании равен \(60^\circ\). Опустим из вершины \(B\) перпендикуляр \(BH\) на нижнее основание; он является высотой трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной \(AB=a\) и высотой \(BH\). В этом треугольнике угол при основании равен \(60^\circ\), поэтому высота есть проекция боковой стороны на направление перпендикуляра: \(BH=a\sin 60^\circ=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, высота трапеции выражается непосредственно через \(a\), что позволяет вычислить площадь без знания конкретных длин оснований.

3. Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту: \(S=\frac{(BC+AD)\cdot h}{2}\). Подставим найденные величины: сумма оснований равна \(2a\), высота равна \(h=BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Тогда \(S=\frac{2a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\). Итоговая формула учитывает свойство описанной трапеции и тригонометрическую связь высоты с боковой стороной при угле \(60^\circ\). Ответ: \(S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\).