ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.75 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 16 см, а острый угол — \(30^\circ\). Найдите площадь этой трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть боковые стороны \(a\) и \(b\) (\(b=16\) — большая). При остром угле \(30^\circ\) у основания высота равна \(h=b\sin 30^\circ=16\cdot \frac{1}{2}=8\), а горизонтальная проекция наклонной стороны равна \(b\cos 30^\circ=16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}\). Чтобы окружность была вписана, меньшая боковая сторона получается вертикальной, следовательно \(a=h=8\).

Сумма оснований равна \(a+b=8+16=24\). Площадь трапеции \(S=\frac{(BC+AD)}{2}\cdot h=\frac{24}{2}\cdot 8=96\ \text{см}^2\).

1. Рассмотрим прямоугольную трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), где боковые стороны \(AB\) (меньшая) и \(CD\) (большая). По условию большая боковая сторона равна \(CD=16\) и при основании имеется острый угол \( \angle CDA=30^\circ\). Так как трапеция прямоугольная, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям: \(AB \perp AD\). В треугольнике \(CDD’\) с высотой на основание \(AD\) высота трапеции равна проекции \(CD\) на направление высоты: \(h=CD\sin 30^\circ=16\cdot \frac{1}{2}=8\). Горизонтальная проекция наклонной стороны \(CD\) на основание равна \(CD\cos 30^\circ=16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}\), она отвечает срезу верхнего основания относительно нижнего.

2. Для вписанной окружности в трапецию необходимо и достаточно, чтобы сумма длин оснований равнялась сумме длин боковых сторон: \((AD+BC)=(AB+CD)\). В прямоугольной трапеции с острым углом у наклонной боковой стороны длина перпендикулярной боковой стороны совпадает с высотой, следовательно \(AB=h=8\). Тогда сумма боковых сторон равна \(AB+CD=8+16=24\). По условию вписываемости окружности получаем \((AD+BC)=24\). Таким образом, сумма оснований известна, хотя каждое из оснований по отдельности не требуется для нахождения площади.

3. Площадь трапеции выражается через среднее арифметическое оснований и высоту: \(S=\frac{(AD+BC)}{2}\cdot h\). Подставляя найденные значения, получаем \(S=\frac{24}{2}\cdot 8=12\cdot 8=96\ \text{см}^2\). Ответ согласуется с записями: высота \(h=8\), сумма оснований \(AD+BC=24\), следовательно площадь искомой прямоугольной трапеции равна \(96\ \text{см}^2\).