ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.76 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 16 см, а острый угол — \(30^\circ\). Найдите площадь этой трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Пусть равнобокая трапеция имеет высоту \(h\) и полусумму оснований \(m\). Для трапеции с вписанной окружностью выполняется \(h=2R\).

Так как боковые углы равны, а один угол равен \(45^\circ\), то образованный боковой стороной и основанием прямоугольный треугольник имеет высоту \(h\) и катет по основанию \(h\). Следовательно, разность оснований равна \(2h=4R\), а полусумма оснований \(m=\frac{a+b}{2}\) равна средней линии, которая вместе с высотой даёт площадь.

Тогда площадь трапеции: \(S=m\cdot h=\frac{a+b}{2}\cdot 2R=(\text{средняя линия})\cdot 2R\). С учётом геометрии при угле \(45^\circ\) получаем \(m=2R\sqrt{2}\), следовательно \(h=2R\) и \(S=m\cdot h=2R\sqrt{2}\cdot 2R=4R^{2}\sqrt{2}\).

Ответ: \(S=4R^{2}\sqrt{2}\).

1) В равнобокой трапеции существует вписанная окружность тогда и только тогда, когда сумма длин противоположных сторон равна: \(a+d=b+c\). При наличии вписанной окружности её радиус равен \(R\), а расстояние между основаниями (высота трапеции) равно удвоенному радиусу: \(h=2R\). Это следует из равенства касательных: периметр разбивается на четыре отрезка, прилегающие к вершинам, и площадь трапеции равна произведению периметра описанного многоугольника вокруг окружности на радиус, делённое на \(2\); для трапеции это даёт стандартное соотношение \(S=p\cdot R\), а также геометрически высота образуется из двух радиусов, перпендикулярных основаниям.

2) Пусть нижнее основание трапеции — \(a\), верхнее — \(b\), боковые стороны равны, а острый угол у основания равен \(45^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, возникающий при опускании перпендикуляра с верхнего основания на нижнее: его вертикальный катет равен высоте \(h\), а горизонтальный катет равен половине разности оснований \(\frac{a-b}{2}\). Так как угол у основания равен \(45^\circ\), углы в этом треугольнике составляют \(45^\circ\) и \(90^\circ\), значит катеты равны: \(\frac{a-b}{2}=h\). Отсюда получаем разность оснований: \(a-b=2h\). С учётом \(h=2R\) имеем \(a-b=4R\). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований \(m=\frac{a+b}{2}\). Запишем \(a=\!b+4R\) и найдём \(m=\frac{(b+4R)+b}{2}=b+2R\). Чтобы выразить \(m\) через \(R\), используем, что при угле \(45^\circ\) диагональные прямоугольные треугольники дают наклонный катет, равный \(h\), следовательно горизонтальный катет от каждой боковой стороны также равен \(h\). Тогда вся «срезка» основания составляет \(2h\), а геометрический центр средней линии смещается так, что длина средней линии выражается через высоту: \(m=\sqrt{h^{2}+(\frac{a-b}{2})^{2}}=\sqrt{h^{2}+h^{2}}=h\sqrt{2}=2R\sqrt{2}\).

3) Площадь трапеции выражается через среднюю линию и высоту: \(S=m\cdot h\). Подставляя найденные значения, получаем \(S=(2R\sqrt{2})\cdot(2R)=4R^{2}\sqrt{2}\). Таким образом, при радиусе вписанной окружности \(R\) и одном из углов трапеции \(45^\circ\) площадь равнобокой трапеции равна \(S=4R^{2}\sqrt{2}\).