ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.77 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания равнобокой трапеции равны 1 см и 17 см, а диагональ делит её тупой угол пополам. Найдите площадь трапеции.

Трапеция равнобокая: диагональ биссектриса тупого угла, значит боковые стороны равны основаниям: \(AB=17\), \(CD=1\), \(AD=17\), \(BC=1\).

Средняя линия: \(m=\frac{17+1}{2}=9\). Полурезультат для высоты через равнобедренный треугольник с боковой стороной \(17\) и проекцией разности оснований: \(\frac{17-1}{2}=8\), тогда высота \(h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15\).

Площадь трапеции: \(S=\frac{(17+1)}{2}\cdot 15=135\ \text{см}^2\).

1) Рассмотрим равнобокую трапецию с основаниями длиной \(1\) и \(17\). Диагональ, проведённая из вершины тупого угла, по условию является биссектрисой этого тупого угла. В равнобокой трапеции такая диагональ делит вершину так, что она разбивает трапецию на равнобедренный треугольник и прямоугольный треугольник, причём биссектриса тупого угла делает прилежащие стороны к этому углу равными проекциям на параллельные основания. Отсюда получаем равенства длин соответствующих отрезков: боковые стороны равны по длине, а диагональ-биссектриса обеспечивает равенство оснований противолежащих этим сторонам частей. В итоге используем вычислительную схема: разность оснований поровну раскладывается на проекции, а высота ищется из прямоугольного треугольника.

2) Разность оснований \((17-1)=16\). Половина этой разности даёт горизонтальную проекцию боковой стороны на любое из оснований: \(\frac{17-1}{2}=8\). Тогда, рассматривая прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне, и катетами: вертикальным \(h\) (высота трапеции) и горизонтальным \(8\) (половина разности оснований), находим высоту по теореме Пифагора. Поскольку боковая сторона равнобокой трапеции в данной конфигурации совпадает с более длинным ребром, принимаем её равной \(17\). Следовательно, \(h=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\).

3) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(m=\frac{1+17}{2}=9\). Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: \(S=m\cdot h=\frac{1+17}{2}\cdot 15=9\cdot 15=135\ \text{см}^{2}\). Ответ: \(S=135\ \text{см}^{2}\).