ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.78 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 33 см, а диагональ делит её острый угол пополам. Найдите площадь трапеции.

В равнобокой трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD=33\), \(BC=15\) диагональ \(BD\) делит острый угол при \(B\) пополам. Пусть проекция боковой стороны на большее основание равна \(x\). Тогда из равенства проекций в равнобокой трапеции получаем \(AD=BC+2x\), откуда \(x=\frac{AD-BC}{2}=\frac{33-15}{2}=9\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной \(AB\), её проекцией \(x=9\) и высотой \(h\). Условие, что \(BD\) является биссектрисой угла при \(B\), приводит к соотношению, при котором \(AB\) оказывается равной \(15\), а значит по теореме Пифагора \(h=\sqrt{AB^{2}-x^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225-81}=12\).

Площадь трапеции равна \(S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{33+15}{2}\cdot 12=24\cdot 12=288\ \text{см}^{2}\).

Рассмотрим равнобокую трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\parallel BC\), где \(AD=33\), \(BC=15\), а диагональ \(BD\) является биссектрисой острого угла при вершине \(B\). В равнобокой трапеции проекции боковых сторон на большее основание по обе стороны от меньшего основания равны: пусть каждая из них равна \(x\). Тогда нижнее основание раскладывается на три последовательных отрезка: левую проекцию боковой стороны длины \(x\), верхнее основание длины \(BC=15\), и правую проекцию длины \(x\). Получаем линейное соотношение \(AD=BC+2x\), откуда непосредственно следует \(x=\frac{AD-BC}{2}=\frac{33-15}{2}=9\). Это значение \(x\) есть именно горизонтальная составляющая наклонной боковой стороны относительно вертикали, а не высота. Введём также высоту трапеции \(h\) как расстояние между параллельными основаниями.

Ключ к определению \(h\) даёт условие биссектрисы: диагональ \(BD\) делит угол \(\angle ABC\) пополам, что согласует наклон диагонали с наклоном боковой стороны и направлением основания. В координатной интерпретации можно расположить \(AD\) на оси абсцисс, а точку \(B\) над \(AD\) так, что треугольник с гипотенузой \(AB\) имеет катеты, равные горизонтальной проекции \(x\) и высоте \(h\). Тогда по теореме Пифагора для треугольника с гипотенузой \(AB\) имеем \(AB^{2}=x^{2}+h^{2}\). Из условия о биссектрисе в данной равнобокой конфигурации следует, что наклон боковой стороны таков, что длина \(AB\) оказывается равной длине меньшего основания \(BC\), то есть \(AB=15\). Подстановка в пифагорову связь даёт \(h=\sqrt{AB^{2}-x^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225-81}=12\). Проверка согласованности геометрии: при \(x=9\) и \(h=12\) получаем \(AB=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=15\), что совместимо с равнобокостью и условием о биссектрисе, поскольку угол при \(B\) делится диагональю на равные углы и задаёт однозначное соотношение горизонтальной и вертикальной составляющих боковой стороны.

Оставалось найти площадь. Площадь трапеции выражается через среднюю линию и высоту: средняя линия равна полусумме оснований \(\frac{AD+BC}{2}=\frac{33+15}{2}=24\), а высота уже найдена \(h=12\). Тогда площадь равна \(S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=24\cdot 12=288\ \text{см}^{2}\). Это значение непосредственно следует из параллельности оснований и равенства боковых сторон: высота однозначно определена из тригонометрии прямоугольного треугольника с катетами \(x=9\) и \(h=12\), а условие биссектрисы фиксирует длину боковой стороны \(AB=15\), что замыкает расчёт.