ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.79 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 10 см и 8 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно боковой стороне трапеции.

Меньшее основание равно боковой стороне: пусть \(BC=AB=CD=x\). Диагональ делит высоту на отрезки \(10\) и \(8\), значит общая высота \(h=18\).

Из прямоугольного треугольника у тупого угла: проекция боковой стороны на большее основание равна \(10\), поэтому \(x^2=10^2+18^2=100+324=424\), отсюда \(x=\sqrt{424}=2\sqrt{106}\).

Большее основание равно сумме меньшего основания и удвоенной проекции: \(AD=BC+2\cdot10=x+20\).

Площадь трапеции: \(S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{x+(x+20)}{2}\cdot18=\frac{2x+20}{2}\cdot18=(x+10)\cdot18\).

Подставим \(x=2\sqrt{106}\): \(S=18\,(2\sqrt{106}+10)=36\sqrt{106}+180\approx972\ \text{см}^2\).

1) Пусть равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC\) (меньшее) и \(AD\) (большее), боковые стороны \(AB=CD\). По условию \(BC\) равно боковой стороне, значит \(BC=AB=CD=x\). Диагональ, проведённая из вершины тупого угла, делит высоту на отрезки длиной \(10\) см и \(8\) см, следовательно общая высота трапеции равна \(h=10+8=18\) см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и проекцией на основание у тупого угла: катеты равны \(10\) и \(18\), гипотенуза равна боковой стороне \(x\). По теореме Пифагора получаем \(x^{2}=10^{2}+18^{2}=100+324=424\), откуда \(x=\sqrt{424}=2\sqrt{106}\).

2) Из геометрического построения видно, что большая основа равна сумме меньшей основы и удвоенной горизонтальной проекции диагонали у тупого угла: \(AD=BC+2\cdot10=x+20\). Это следует из симметрии равнобокой трапеции: диагонали дают равные по длине проекции, поэтому добавляется именно \(2\cdot10\). Тогда сумма оснований равна \(BC+AD=x+(x+20)=2x+20\).

3) Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h\). Подставляя найденные выражения, получаем \(S=\frac{2x+20}{2}\cdot18=(x+10)\cdot18\). С учётом \(x=2\sqrt{106}\) имеем \(S=18\,(2\sqrt{106}+10)=36\sqrt{106}+180\). Численно это \(S\approx36\cdot10{,}295+180\approx371{,} \! — \! 372+180\approx972\) см\(^2\). Ответ: \(S=36\sqrt{106}+180\approx972\) см\(^2\).