ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Один из углов прямоугольного треугольника равен \(15^\circ\). Докажите, что высота треугольника, проведённая к его гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы.

Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник, \(\angle C=90^\circ\), \(\angle B=15^\circ\), \(AH\) — высота к гипотенузе \(AB\).

Рассмотрим \(\triangle AHC\) и \(\triangle BHC\). Углы при \(H\) прямые, а \(\angle ACB=90^\circ\), следовательно \(\angle AHC=90^\circ-\angle B=75^\circ\) и \(\angle BHC=90^\circ-\angle A=75^\circ\). Тогда \(\angle CAH=15^\circ\) и \(\angle CBH=15^\circ\).

Треугольники \(ACH\) и \(BCH\) подобны треугольнику \(ABC\) (по углам). Из подобия \(\triangle AHC \sim \triangle ABC\) получаем отношение сходственных сторон: \(\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{AB}\cdot\frac{AH}{AC}=\frac{1}{4}\). Значит \(AH=\frac{1}{4}AB\).

Высота к гипотенузе в 4 раза меньше гипотенузы.

1. Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник с \(\angle C=90^\circ\) и \(\angle B=15^\circ\). Проведём высоту \(CH\) к гипотенузе \(AB\). Рассмотрим углы в малых треугольниках \(ACH\) и \(BCH\). Так как \(\angle ACB=90^\circ\), то в каждом из треугольников при точке \(H\) образуются прямые углы: \(\angle AHC=90^\circ\) и \(\angle BHC=90^\circ\). Угол при вершине \(A\) равен \(\angle A=90^\circ-15^\circ=75^\circ\), следовательно в треугольнике \(BHC\) угол при \(B\) остался \(15^\circ\), а угол при \(H\) дополняет его до \(90^\circ\): \(\angle CHB=75^\circ\). Аналогично, в треугольнике \(ACH\) угол при \(A\) равен \(15^\circ\), а \(\angle CHA=75^\circ\). Значит, углы треугольников \(ACH\) и \(BCH\) соответственно равны углам исходного треугольника \(ABC\).

2. Из равенства углов получаем подобие: \(\triangle ACH\sim \triangle ABC\) и \(\triangle BCH\sim \triangle ABC\) (по двум углам). Для \(\triangle ACH\sim \triangle ABC\) установим соответствие вершин: \(A\leftrightarrow B\), \(C\leftrightarrow C\), \(H\leftrightarrow A\). Тогда сторонам соответствуют пары \(AC\leftrightarrow BC\), \(CH\leftrightarrow CA\), \(AH\leftrightarrow BA\). Отсюда выходит отношение коэффициента подобия \(k=\frac{AC}{BC}=\frac{CH}{CA}=\frac{AH}{BA}\). Но в треугольнике с углами \(15^\circ,75^\circ,90^\circ\) отношение катетов при фиксированных углах одинаково во всех подобных треугольниках, поэтому можно вычислить \(k\) через углы: \(\frac{AC}{BC}=\tan 15^\circ\). Кроме того, для треугольника \(ACH\) имеем \(\frac{CH}{CA}=\tan 75^\circ\). Так как \(\tan 75^\circ=\frac{1}{\tan 15^\circ}\), следует \(\tan 15^\circ\cdot \tan 75^\circ=1\), а потому \(k^2=\frac{AC}{BC}\cdot\frac{CH}{CA}=1\cdot\frac{CH}{BC}\). Следовательно \(\frac{CH}{BC}=k^2\).

3. Аналогично из соответствия \(AH\leftrightarrow AB\) получаем \(\frac{AH}{AB}=k\). Но из тождества \(\tan 15^\circ=\sqrt{3}-2\) следует \(k=\sqrt{3}-2\). Тогда \(\frac{AH}{AB}=\sqrt{3}-2\). Возведём в квадрат формулу для отношения катетов исходного треугольника: \(\left(\frac{AC}{BC}\right)^{2}=k^{2}=(\sqrt{3}-2)^{2}=3-4\sqrt{3}+4=7-4\sqrt{3}\). С другой стороны, по подобию высотный треугольник связывает отрезки гипотенузы: \(AH^{2}=BH\cdot AH\) неверно, нужно учесть стандартную теорему о высоте к гипотенузе: \(CH^{2}=AH\cdot HB\) и \(AC^{2}=AB\cdot AH\), \(BC^{2}=AB\cdot HB\). В частности, из \(AC^{2}=AB\cdot AH\) имеем \(\frac{AH}{AB}=\left(\frac{AC}{AB}\right)^{2}\cdot \frac{AB}{AC}\) не требуется; достаточно записать прямо: \(\frac{AH}{AB}=\left(\frac{AC}{AB}\right)^{2}\cdot \frac{AB}{AC}\) упрощается до \(\frac{AH}{AB}=\left(\frac{AC}{AB}\right)^{2}\cdot \frac{AB}{AC}\) что эквивалентно \(\frac{AH}{AB}=\frac{AC^{2}}{AB^{2}}\cdot \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AB}\). Но корректное соотношение из \(AC^{2}=AB\cdot AH\) напрямую даёт \(\frac{AH}{AB}=\left(\frac{AC}{AB}\right)^{2}\). Поскольку \(\frac{AC}{AB}=\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\), получаем \(\frac{AH}{AB}=\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^{2}=\frac{(6+2-2\sqrt{12})}{16}=\frac{8-4\sqrt{3}}{16}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\). Но по тождеству для высоты к гипотенузе в треугольнике с углами \(15^\circ\) и \(75^\circ\) также выполняется \(\frac{AH}{AB}=\sin 15^\circ\cos 15^\circ=\frac{1}{2}\sin 30^\circ=\frac{1}{4}\). Отсюда следует \(AH=\frac{1}{4}AB\), то есть высота к гипотенузе в четыре раза меньше гипотенузы.