ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.82 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите площадь трапеции.

Дано: равнобокая трапеция, окружность вписана. На боковой стороне касание делит её на 8 и 18.

Сумма оснований равна сумме пар равных касательных: \(a+b=8+18+8+18=52\).

Высота равна удвоенному геометрическому среднему этих отрезков (из подобия прямоугольных треугольников по касательной): \(h=2\sqrt{8\cdot18}=2\cdot12=24\).

Площадь: \(S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{52}{2}\cdot24=26\cdot24=624\) \(\text{см}^2\).

Рассмотрим равнобокую трапецию, в которую вписана окружность. Вписанность означает, что суммы длин противоположных сторон равны: \(a+b=l+l\), где \(a\) и \(b\) — основания, а \(l\) — боковые стороны, следовательно \(a+b=2l\). Касательная из одной вершины к окружности даёт два равных отрезка на примыкающих сторонах. Пусть точка касания делит боковую сторону на части 8 и 18, тогда для каждой вершины пары равных касательных по сумме дают вклад \(8+18\). По всей фигуре это удвоится, поэтому получаем \(a+b=8+18+8+18=52\). Этот шаг основан на свойстве касательных: отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, и их сумма по соседним сторонам равна соответствующему основанию при вписанной окружности.

Высота трапеции связана с геометрическими построениями по касательной. Проведём радиус к точке касания на боковой стороне: он перпендикулярен боковой стороне, образуются два прямоугольных треугольника с общей высотой \(h\) и основаниями по боковой стороне 8 и 18. Так как верхнее основание параллельно нижнему, диагонали и отрезки к вершинам дают подобие этих треугольников; высота выражается через катеты как удвоенное геометрическое среднее разбиения: \(h=2\sqrt{8\cdot18}\). Перемножая, имеем \(8\cdot18=144\), следовательно \(\sqrt{144}=12\), и, значит, \(h=2\cdot12=24\). Этот результат согласуется с классическим фактом: в равнобокой трапеции с вписанной окружностью высота равна сумме проекций боковой стороны на высоту, то есть удвоенному геометрическому среднему частей, на которые касание делит боковую сторону.

Имея сумму оснований и высоту, вычислим площадь по формуле трапеции: \(S=\frac{a+b}{2}\cdot h\). Подставляем найденные значения: \(\frac{52}{2}=26\) и \(h=24\), откуда \(S=26\cdot24=624\). Таким образом, площадь равнобокой трапеции, в которую вписана окружность и которая имеет деление боковой стороны точкой касания на отрезки 8 и 18, равна \(624\) \(\text{см}^2\).