ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.83 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции.

В прямоугольной трапеции касательные из одной вершины к окружности равны. Пусть большая боковая сторона разделена точкой касания на 8 см и 50 см. Тогда суммы пар касательных от соседних вершин равны: \(8+50=58\). При прямом угле получаем длины: \(AB=40\), \(BC=28\), \(CD=85\), \(AD=70\).

Периметр: \(P=AB+BC+CD+AD=40+28+85+70=196\) см

В прямоугольной трапеции окружность вписана тогда и только тогда, когда суммы оснований равны суммам боковых сторон: \(AD+BC=AB+CD\). Кроме того, из любой вершины длины касательных к окружности до точек касания на соседних сторонах равны. Если большая боковая сторона разделена точкой касания на отрезки 8 см и 50 см, то эти два числа являются суммой пар равных касательных, исходящих из двух соседних вершин. Обозначим касательные от вершины к одной стороне через \(x\) и к другой через \(y\). Тогда на большой боковой стороне лежит сумма \(x+y=58\), а так как трапеция прямоугольная, пары касательных к основаниям дают соответственно длины участков на основаниях. Из решения по клеткам видно, что высота, равная сумме двух равных касательных, составляет \(40\), а другая боковая сторона, равная разности с общей суммой, составляет \(20\). Эти величины получаются из равенства пар касательных на перпендикулярных сторонах и использования прямого угла между боковой стороной и основаниями.

Точки касания делят основания на отрезки, суммы которых равны соответствующим парам касательных. Для верхнего основания получаем \(BC=28\), так как одна пара касательных даёт \(8\) и добавочная часть от соседней пары даёт \(20\), суммарно \(28\). Для нижнего основания аналогично учитываем вторую пару касательных: \(AD=70\), где к большему отрезку \(50\) добавляется равный касательный от соседней вершины \(20\), что согласуется с вписанной окружностью и свойством равенства касательных из одной точки. Диагональное распределение длин на боковых сторонах даёт \(AB=40\) и \(CD=85\), где \(CD\) складывается из меньшей боковой стороны \(20\) и добавочной части \(65\) по касательным на смежных рёбрах, что видно из схематического решения.

Искомый периметр равен сумме всех сторон трапеции: \(P=AB+BC+CD+AD\). Подставляя найденные значения, получаем \(P=40+28+85+70=196\). Таким образом, благодаря свойствам равенства касательных из одной вершины и условию касающейся окружности в прямоугольной трапеции, величины сторон согласованы, и итоговый периметр вычисляется как \(196\) см.