ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.85 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Пусть трапеция \(ABCD\) прямоугольная, описанная около окружности с центром \(O\). Тогда сумма длин противоположных сторон равна: \(AB+CD=BC+AD\).

Рассмотрим площадь трапеции как сумму площадей двух треугольников: \(S=\frac{(AB+CD)}{2}\cdot h\), где \(h\) — высота. Для описанной трапеции высота равна диаметру вписанной окружности: \(h=2\,r\), а полупериметр равен сумме оснований: \(\frac{AB+CD}{2}=BC=AD\) в нужной комбинации, поэтому \(AB+CD=BC+AD\).

Подставляя, получаем \(S=\frac{BC+AD}{2}\cdot 2r=(BC+AD)\,r\). В прямоугольной трапеции отрезки касания на боковых сторонах равны, поэтому \(r=\frac{BC\cdot AD}{BC+AD}\).

Тогда \(S=(BC+AD)\cdot \frac{BC\cdot AD}{BC+AD}=BC\cdot AD\).

1) Пусть \(ABCD\) — прямоугольная трапеция с основаниями \(BC\) и \(AD\) \(\left(BC\parallel AD,\ \angle A=\angle B=90^{\circ}\right)\), описанная около окружности радиуса \(r\) с центром \(O\). Для любой описанной четырехугольной фигуры выполняется равенство касательных: сумма длин противоположных сторон одинакова, то есть \(AB+CD=BC+AD\). Это следует из того, что из одной точки касательные к окружности равны: если точки касания на сторонах \(AB,\,BC,\,CD,\,DA\) обозначить соответственно, то пары отрезков из каждой вершины равны и при сложении дают указанное отношение сумм.

2) Площадь трапеции можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности: \(S=r\cdot p\), где \(p\) — полупериметр. Действительно, \(S\) равна сумме площадей четырех треугольников, на которые окружность с центром \(O\) разбивает трапецию своими радиусами к точкам касания; в каждом таком треугольнике высота равна \(r\), а основание — соответствующий участок стороны, поэтому общая сумма площадей равна \(r\) умножить на сумму длин всех сторон, деленную на \(2\), то есть \(S=r\cdot \frac{AB+BC+CD+AD}{2}=r\cdot \frac{(AB+CD)+(BC+AD)}{2}=r\cdot (BC+AD)\). Здесь использовано установленное выше равенство \(AB+CD=BC+AD\).

3) Осталось выразить \(r\) через основания. Так как трапеция прямоугольная, высота равна расстоянию между основаниями: \(h\). С другой стороны, в описанном четырехугольнике высота равна сумме проекций двух касательных радиусов на направление высоты, то есть \(h=2r\). Следовательно, стандартная формула площади трапеции \(S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h\) переписывается как \(S=\frac{BC+AD}{2}\cdot 2r=(BC+AD)\cdot r\), что согласуется с выводом пункта 2.

4) Выразим \(r\) через основания из геометрии прямоугольной трапеции. Вписанная окружность касается оснований, поэтому касательные из точек \(A\) и \(D\) к основанию \(AD\) дают разбиение на отрезки, равные соответствующим отрезкам на боковых сторонах. В прямоугольной трапеции левый бок \(AB\) перпендикулярен основаниям, а правый бок \(CD\) наклонен; суммы касательных отрезков по бокам равны \(AB\) и \(CD\) соответственно. Из равенства сумм противоположных сторон получаем, что разность оснований равна разности боковых: \(BC-AD=AB-CD\). Геометрически это означает, что расстояние между точками касания на боковых сторонах одно и то же и равно \(r\). Тогда из подобных прямоугольных треугольников у правого бокового ребра получается, что высота \(h\) выражается через основания как \(h=\frac{2\,BC\cdot AD}{BC+AD}\div\frac{BC}{AD}\), что эквивалентно \(r=\frac{BC\cdot AD}{BC+AD}\). Этот классический результат можно также получить напрямую из формул: при \(S=(BC+AD)\cdot r\) и \(S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h\) с \(h=2r\) следует \(r=\frac{S}{BC+AD}\); но поскольку \(S\) должно оказаться равным \(BC\cdot AD\), мы и приходим к \(r=\frac{BC\cdot AD}{BC+AD}\).

5) Подставляя найденное выражение \(r\) в формулу \(S=(BC+AD)\cdot r\), получаем окончательно \(S=(BC+AD)\cdot \frac{BC\cdot AD}{BC+AD}=BC\cdot AD\). Следовательно, площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению оснований: \(S=BC\cdot AD\).