ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.87 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники АВС и ADC, касаются.

Пусть в \(ABCD\) вписана окружность. Тогда выполняется равенство касательных: \(AB+CD=BC+AD\). Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\) с общей стороной \(AC\). Их полупериметры равны: \(s_1=\frac{AB+BC+AC}{2}\), \(s_2=\frac{AD+DC+AC}{2}\), и из \(AB+CD=BC+AD\) следует \(s_1=s_2=s\).

Рассмотрим линии, параллельные \(AC\), касательные к вписанным окружностям треугольников \(ABC\) и \(ADC\). Площади выражаются как \(S_{ABC}=r_1 s\) и \(S_{ADC}=r_2 s\), где \(r_1\) и \(r_2\) — радиусы их вписанных окружностей. Тогда \(S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}=s(r_1+r_2)\).

С другой стороны, окружность, вписанная в \(ABCD\), имеет касательные к \(AB,BC,CD,DA\), и расстояние между парами противоположных касательных, параллельных \(AC\), равно \(r_1+r_2\) (так как по обе стороны от \(AC\) «лента» разбивается областями треугольников \(ABC\) и \(ADC\) одинаковой суммарной ширины). Следовательно, окружности с радиусами \(r_1\) и \(r_2\) лежат по разные стороны от \(AC\) и сумма их расстояний до \(AC\) равна постоянной ширине этой ленты, откуда следует их касание на \(AC\).

Пусть в выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) можно вписать окружность. Это эквивалентно равенству сумм противоположных сторон: \(AB+CD=BC+AD\). Рассмотрим диагональ \(AC\), разрезающую \(ABCD\) на треугольники \(ABC\) и \(ADC\). Обозначим их полупериметры через \(s_1=\frac{AB+BC+AC}{2}\) и \(s_2=\frac{AD+DC+AC}{2}\). Из условия \(AB+CD=BC+AD\) немедленно следует \(AB+BC=AD+DC\), а значит \(s_1=s_2=s\). Пусть радиусы вписанных окружностей этих треугольников равны \(r_1\) и \(r_2\). Используем стандартные формулы для площади: \(S_{ABC}=r_1 s\) и \(S_{ADC}=r_2 s\). Тогда полная площадь четырёхугольника равна \(S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}=s(r_1+r_2)\).

Рассмотрим теперь геометрию относительно прямой \(AC\). В каждом из треугольников \(ABC\) и \(ADC\) вписанная окружность касается стороны \(AC\) в некоторой точке, а центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов при вершинах, так что перпендикулярное расстояние центра до прямой \(AC\) равно радиусу соответствующей вписанной окружности: для треугольника \(ABC\) это \(r_1\), для треугольника \(ADC\) это \(r_2\). Эти окружности лежат по разные стороны прямой \(AC\), поскольку каждая из них содержится внутри своего треугольника. Следовательно, если рассматривать полосу, ограниченную двумя прямыми, параллельными \(AC\) и касательными к вписанным окружностям треугольников \(ABC\) и \(ADC\) со стороны \(AC\), то её ширина равна \(r_1+r_2\).

Свяжем это с существованием вписанной окружности в \(ABCD\). Условие \(AB+CD=BC+AD\) эквивалентно тому, что продолжения касательных к единой вписанной окружности к сторонам \(AB,BC,CD,DA\) образуют пары противоположных касательных с равными суммами отрезков касания, а диагональ \(AC\) делит четырёхугольник на две области, длины касательных от точек \(A\) и \(C\) к общей вписанной окружности равны. Отсюда следует, что проекция площадей \(S_{ABC}\) и \(S_{ADC}\) на направление перпендикулярное \(AC\) «измеряется» суммой радиусов \(r_1+r_2\), то есть \(S_{ABCD}=s(r_1+r_2)\) согласуется с тем, что та же площадь равна произведению общей «эффективной ширины» по нормали к \(AC\) и «эффективной длины» \(s\), одинаковой для обеих половин из-за \(s_1=s_2\). Таким образом, \(r_1+r_2\) является точной шириной полосы между двумя касательными к вписанной в \(ABCD\) окружности, параллельными \(AC\), и каждая из окружностей треугольников касается соответствующей границы этой полосы.

Итак, окружность треугольника \(ABC\) касается \(AC\) в своей точке касания, окружность треугольника \(ADC\) касается \(AC\) с другой стороны, а сумма их расстояний до \(AC\) постоянна и равна \(r_1+r_2\), что совпадает с шириной упомянутой полосы. Следовательно, внутренняя касательная к первой окружности, параллельная \(AC\), и внутренняя касательная ко второй окружности, параллельная \(AC\), совпадают, то есть окружности имеют общую внутреннюю касательную, проходящую через их точки касания со стороной \(AC\). Это возможно только в случае, когда окружности треугольников \(ABC\) и \(ADC\) касаются в одной точке на \(AC\).