ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.88 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Т.к. центр описанной окружности лежит на большем основании, радиусы к вершинам равны: \(OB=BC=CD\). Тогда треугольники \(OBD\), \(BOC\) и \(COD\) равнобедренные с общей вершиной на меньшем основании.

Следовательно, углы при меньшем основании равны: \(\angle A=\angle D=60^\circ\), а суммарные внутренние углы трапеции дают \(360^\circ\), поэтому углы при большем основании: \(\angle B=\angle C=120^\circ\).

1. Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями: большее основание проходит через центр описанной окружности. Если центр окружности лежит на большем основании, то радиусы к вершинам, лежащим на окружности, дают равенства длин: \(OB=BC=CD\). Это означает, что от точки на меньшем основании (центральная вершина соединений) проведены равные отрезки к вершинам верхнего основания и к двум точкам на большем основании, образуя три равнобедренных треугольника \(OBD\), \(BOC\) и \(COD\). В каждом из них боковые стороны равны радиусу, а общая вершина соединений расположена на меньшем основании, поэтому углы при этой вершине в сумме вокруг точки дают полный угол \(360^\circ\).

2. Зафиксируем центральную точку соединения на меньшем основании и отметим, что углы при ней в трёх равнобедренных треугольниках равны между собой, так как соответствующие стороны равны: \(OB=BC=CD\). Следовательно, каждый из трёх углов при центральной точке равен \(\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\). В равнобедренном треугольнике с вершиной при центральной точке и основанием на меньшем основании базовые углы при меньшем основании попарно равны и дополняют вершины до \(180^\circ\): для каждого такого треугольника выполняется \(2\alpha+120^\circ=180^\circ\), откуда \(\alpha=30^\circ\). Так как меньшему основанию соответствуют два таких базовых угла (по одному слева и справа), угол при каждой вершине меньшего основания равен удвоенному базовому углу равнобедренного треугольника, то есть \(2\cdot30^\circ=60^\circ\). Значит, углы при меньшем основании трапеции равны \(60^\circ\).

3. Сумма внутренних углов четырёхугольника равна \(360^\circ\). Пусть углы при меньшем основании равны \(60^\circ\) и \(60^\circ\). Тогда углы при большем основании должны составить оставшуюся сумму: \(360^\circ-60^\circ-60^\circ=240^\circ\). Так как трапеция симметрична по построению (боковая сторона равна меньшему основанию и разбиение на три равнобедренных треугольника симметрично), углы при большем основании равны между собой, следовательно каждый из них равен \(\frac{240^\circ}{2}=120^\circ\). Итак, окончательно: углы трапеции равны \(60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ\), при меньшем основании по \(60^\circ\), при большем оснований по \(120^\circ\).