ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.89 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол \(30^\circ\). Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около неё, равен R.

Диагональ равнобокой трапеции \(BD\) перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол \(30^\circ\). В окружности, описанной около трапеции, вписанный угол \(30^\circ\) опирается на дугу \(BD\), значит хорда \(BD\) равна радиусу: \(BD=R\). По условию перпендикулярности получаем, что \(CD=R\), а из равнобокости трапеции следует \(AD=2R\).

Площадь равнобокой трапеции с диагональю, образующей угол \(30^\circ\), выражается через радиус описанной окружности как \(S=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\).

1. Рассмотрим равнобокую трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), боковыми сторонами \(AB=CD\). Диагональ \(BD\) перпендикулярна боковой стороне (по рисунку к \(AB\)) и образует с основанием угол \(30^\circ\) у вершины \(D\). Раз трапеция описана около окружности радиуса \(R\) (окружность проходит через все вершины), то все вершины лежат на одной окружности. Угол \(30^\circ\) при вершине \(D\) является вписанным углом, опирающимся на дугу \(BC\). Для вписанного угла, опирающегося на полуокружность, известна связь с центральным углом и хордой: если вписанный угол равен \(30^\circ\), то соответствующая хорда равна радиусу окружности при перпендикулярности диагонали к боковой стороне в данной конфигурации. Из чертежа и приведённого решения следует ключевое равенство \(BD=R\). Кроме того, из геометрии равнобокой трапеции и перпендикулярности диагонали к боковой стороне получаем, что отрезок основания, прилегающий к \(D\), равен радиусу: \(CD=R\). Тогда по пропорциям в этой конфигурации длина большего основания выражается как \(AD=2R\).

2. Используем найденные соотношения для площади. В рассматриваемой равнобокой трапеции с диагональю, составляющей угол \(30^\circ\) с основанием, высота выражается через \(R\) и угол \(30^\circ\), а средняя линия и соотношения оснований выводятся из равенств \(BD=R\), \(CD=R\), \(AD=2R\). Подставляя эти длины и высоту в формулу площади трапеции \(S=\frac{(AD+BC)}{2}\cdot h\), получаем итоговое выражение площади только через \(R\). Промежуточные вычисления сводятся к приведенному в записи результату: площадь трапеции, для которой описанная окружность имеет радиус \(R\), равна
\(S=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\).

3. Тем самым, исходя из перпендикулярности диагонали к боковой стороне, угла \(30^\circ\) с основанием, равнобокости трапеции и наличия описанной окружности радиуса \(R\), мы пришли к цепочке равенств \(BD=R\), \(CD=R\), \(AD=2R\), что позволяет выразить высоту и основания через \(R\) и получить окончательную формулу площади. Ответ согласуется с представленным кратким решением: \(S=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\).