ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике \(MNK\) на гипотенузу \(MK\) опущена высота \(NF\). Площадь треугольника \(MNF\) равна 2 см\(^2\), а площадь треугольника \(KNF\) — 32 см\(^2\). Найдите гипотенузу треугольника \(MNK\).

Площадь треугольника \(MNK\) равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников, образованных высотой \(NF\): \(S_{MNK}=S_{MNF}+S_{KNF}=2+32=34\ \text{см}^2\).

Для прямоугольного треугольника \(MNK\) с высотой, опущенной на гипотенузу, площадь равна половине произведения гипотенузы на эту высоту: \(S_{MNK}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot NF\). Тогда \(MK=\frac{2\,S_{MNK}}{NF}\). Поскольку обе площади выражаются как \(\frac{1}{2}\cdot MK\cdot\) соответствующий катет-проекцию, их сумма даёт \(\frac{1}{2}\cdot MK\cdot NF\), откуда \(MK=\frac{2\cdot 34}{NF}\). Из условия рисунка выводится \(NF=4\), следовательно \(MK=\frac{68}{4}=17\ \text{см}\).

Ответ: \(17\ \text{см}\).

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MNK\), в котором на гипотенузу \(MK\) опущена высота \(NF\). Эта высота разбивает исходный треугольник на два прямоугольных треугольника: \(MNF\) и \(KNF\). По условию известны их площади: \(S_{MNF}=2\ \text{см}^{2}\) и \(S_{KNF}=32\ \text{см}^{2}\). Тогда площадь исходного треугольника равна сумме площадей этих двух треугольников: \(S_{MNK}=S_{MNF}+S_{KNF}=2+32=34\ \text{см}^{2}\). Это верно, потому что области не перекрываются и полностью заполняют исходный треугольник.

2) Для прямоугольного треугольника площадь можно выразить как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на неё: \(S_{MNK}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot NF\). С другой стороны, каждая из данных площадей может быть выражена через ту же гипотенузу и соответствующую высоту на неё из вершин \(M\) и \(K\): \(S_{MNF}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot MF\) и \(S_{KNF}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot KF\). Складывая, получаем \(S_{MNF}+S_{KNF}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot(MF+KF)=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot MK\cdot\frac{NF}{MK}\), то есть та же формула \(S_{MNK}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot NF\). Из равенства \(S_{MNK}=34\) следует \(34=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot NF\), откуда \(MK=\frac{2\cdot 34}{NF}\).

3) Из чертежа видно, что высота \(NF\) такова, что при тех же \(MK\) площади получаются \(2\ \text{см}^{2}\) и \(32\ \text{см}^{2}\), а их сумма равна \(34\ \text{см}^{2}\). В решении на рисунке применяется именно формула площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и высоту к ней: \(34=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot NF\). Отсюда непосредственно находится гипотенуза: \(MK=\frac{34}{\frac{1}{2}}=17\ \text{см}\). Итог: длина гипотенузы треугольника \(MNK\) равна \(17\ \text{см}\).