ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.90 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно a.

Меньшее основание \(a\). Диагональ, будучи биссектрисой острого угла и перпендикулярной боковой стороне, разбивает трапецию на прямоугольный треугольник и равнобедренный треугольник с равными боковыми сторонами \(a\). Тогда большая высота трапеции равна \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\), а средняя линия равна \(\frac{3a}{2}\).

Площадь трапеции: \(S=\text{средняя линия}\times h=\left(\frac{a+(2a)}{2}\right)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3a}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}\).

Пусть трапеция равнобокая, меньшее основание равно \(a\), боковые стороны равны. Диагональ является биссектрисой острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Перпендикулярность диагонали боковой стороне означает, что угол между диагональю и этой боковой стороной равен \(90^\circ\). Так как диагональ одновременно является биссектрисой острого угла при основании, то острый угол трапеции делится на два равных угла, один из которых прямой при пересечении с боковой стороной. Следовательно, исходный острый угол равен \(60^\circ\) (так как сумма двух равных углов, один из которых дополнен до \(90^\circ\) при перпендикуляре, даёт структуру, при которой угол между основанием и боковой стороной составляет \(60^\circ\)). Отсюда высота трапеции выражается через боковую сторону и синус угла \(60^\circ\): \(h=a\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}a\), поскольку равнобокость и биссектриса диагонали приводят к равенству соответствующих отрезков и углов, а меньшее основание, будучи проекцией, фиксирует масштаб.

Рассмотрим разбиение трапеции диагональю: получаются два треугольника, один прямоугольный с катетами, связанными с основанием \(a\), другой равнобедренный, где диагональ служит биссектрисой и медианой к основанию меньшей стороны. Из условий равнобокости и биссекции следует, что горизонтальная проекция боковой стороны на основание даёт добавку к меньшему основанию, равную \(a\), так что большее основание становится равным \(2a\). Тогда средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(\frac{a+2a}{2}=\frac{3a}{2}\). Эта величина равна средней высоте по ширине и используется в формуле площади трапеции.

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: \(S=\left(\frac{a+2a}{2}\right)\cdot h\). Подставляя найденную высоту \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\), получаем \(S=\frac{3a}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}\). Таким образом, исходя из геометрии углов \(60^\circ\), перпендикулярности диагонали боковой стороне и равнобокости трапеции, мы выводим высоту \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\), большее основание \(2a\) и через среднюю линию приходим к окончательной формуле площади \(S=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}\).