ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.92 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а диагональ — 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

В равнобокой трапеции проведём высоты к большему основанию: её равнобедренные треугольники у оснований имеют катет-отрезок \(x=\frac{21-9}{2}=6\) см, значит высота \(h=\sqrt{17^{2}-6^{2}}=\sqrt{289-36}= \sqrt{253}\) не нужна; используем диагональ, образующую прямоугольный треугольник с меньшим основанием. Тогда в прямоугольном треугольнике с катетами \(BH\) и \(x\) получаем \(BH=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=\sqrt{289-225}=8\) см, где \(15=\frac{9+21}{2}\).

По теореме Пифагора для боковой стороны \(AB=\sqrt{x^{2}+BH^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10\) см, откуда \(\sin\angle DAB=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\).

Радиус описанной окружности около равнобедренной трапеции равен \(R=\frac{BD}{2\sin\angle DAB}=\frac{17}{2\cdot \frac{4}{5}}= \frac{85}{8}\) см.

1) Рассмотрим равнобокую трапецию с основаниями 9 см и 21 см и диагональю 17 см. Пусть к большему основанию проведены высоты из вершин меньшего основания; за счёт равнобокости получаются равные «ступеньки» по краям, каждая длиной \(x=\frac{21-9}{2}=6\) см. Тогда середина большего основания проектирует вершину меньшего основания так, что отрезок между основаниями, входящий в прямоугольный треугольник с диагональю, равен средней линии основания: \(m=\frac{21+9}{2}=15\) см. Диагональ 17 см вместе с \(m=15\) даёт перпендикулярный катет \(BH\) как высоту соответствующего внутреннего прямоугольного треугольника: \(BH=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=\sqrt{289-225}=8\) см. Этот шаг фиксирует истинную высоту составляющего треугольника внутри трапеции, необходимую для нахождения угла при боковой стороне.

2) Теперь найдём боковую сторону трапеции \(AB\). Она образует прямоугольный треугольник с катетами \(x=6\) см (горизонтальный сдвиг между основаниями в одном крыле) и \(BH=8\) см (вертикальный катет, найденный выше). По теореме Пифагора получаем \(AB=\sqrt{x^{2}+BH^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=10\) см. Тогда синус угла при вершине \(A\) в треугольнике \(DAB\) (где \(BD\) — диагональ) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \(\sin\angle DAB=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\). Этот угол является углом между диагональю и боковой стороной, что позволяет использовать формулу радиуса описанной окружности вокруг треугольника, вписанного в эту диагональ и боковую сторону.

3) Радиус описанной окружности \(R\) для треугольника \(DAB\) выражается через сторону \(BD\) и угол, который она стягивает: \(R=\frac{BD}{2\sin\angle DAB}\). Здесь \(BD=17\) см — данная диагональ трапеции. Подставляя найденный синус, получаем \(R=\frac{17}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{17}{\frac{8}{5}}=17\cdot \frac{5}{8}=\frac{85}{8}\) см. Этот радиус совпадает с радиусом окружности, описанной вокруг всей равнобокой трапеции, так как равнобокая трапеция с диагоналями, стягивающими равные углы, вписывается в окружность, и выбранный треугольник \(DAB\) задаёт тот же описанный радиус. Ответ: \(\frac{85}{8}\) см.