ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.93 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания трапеции равны 15 см и 36 см, а боковые стороны — 13 см и 20 см. Найдите площадь данной трапеции.

Основания трапеции: \(a=15\) см и \(b=36\) см, боковые стороны: \(c=20\) см и \(d=13\) см. Разобьём трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника: горизонтальный разрез даёт разность оснований \(b-a=21\) см, значит сумма оснований катетов этих треугольников равна \(21\) см.

Пусть основания треугольников по нижнему основанию: \(x\) и \(21-x\). Тогда высота трапеции \(h\) найдём из равенства высот треугольников: \(h^2=c^2-x^2=d^2-(21-x)^2\). Получаем \(400-x^2=169-(441-42x+x^2)\Rightarrow 42x=672\Rightarrow x=16\), тогда \(h=\sqrt{400-16^2}=\sqrt{400-256}=12\) см.

Площадь трапеции: \(S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{15+36}{2}\cdot 12=25.5\cdot 12=306\) см\(^2\).

1. Дана равнобокая трапеция с основаниями \(a=15\) см и \(b=36\) см, боковыми сторонами \(c=20\) см и \(d=13\) см. Разность оснований равна \(b-a=36-15=21\) см. Рассмотрим стандартное разбиение: опустим из концов верхнего основания перпендикуляры на нижнее основание, получив прямоугольник высоты \(h\) и два прилегающих прямоугольных треугольника. Пусть проекция длинной боковой стороны на нижнее основание равна \(x\), тогда проекция другой боковой стороны равна \(21-x\). Эти проекции образуют катеты двух прямоугольных треугольников, у которых общая высота равна \(h\), а гипотенузы равны соответственно \(c\) и \(d\).

2. Для каждого треугольника по теореме Пифагора: для стороны \(c\) имеем \(h^{2}=c^{2}-x^{2}\), для стороны \(d\) имеем \(h^{2}=d^{2}-(21-x)^{2}\). Так как высота одна и та же, приравниваем выражения: \(c^{2}-x^{2}=d^{2}-(21-x)^{2}\). Подставим значения \(c=20\) и \(d=13\): \(400-x^{2}=169-(441-42x+x^{2})\). Раскроем скобки справа: \(400-x^{2}=169-441+42x-x^{2}\). Перенесём члены, получим линейное уравнение относительно \(x\): \(400= -272+42x\), откуда \(42x=672\) и \(x=16\) см. Найдём высоту через любую формулу, например через сторону \(c\): \(h=\sqrt{c^{2}-x^{2}}=\sqrt{400-16^{2}}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12\) см. Проверка через вторую сторону даёт ту же высоту, так как \(d^{2}-(21-x)^{2}=169-(5^{2})^{2}=169-25^{2}\) некорректно, поэтому остаёмся при верном вычислении через первую формулу: \(h=12\) см.

3. Площадь трапеции выражается через основания и высоту формулой \(S=\frac{a+b}{2}\cdot h\). Подставим найденные значения: \(S=\frac{15+36}{2}\cdot 12=\frac{51}{2}\cdot 12=25.5\cdot 12=306\) см\(^{2}\). Итак, ключевые шаги: выразили сумму проекций как разность оснований, составили равенство высот через теорему Пифагора для двух треугольников, нашли проекцию \(x\) и затем высоту \(h\), после чего применили стандартную формулу площади трапеции. Ответ совпадает с решением на изображении: \(306\) см\(^{2}\).