ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.94 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Трапеция ABCD (BC ∥ AD) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если AC = d и \(\angle COD = 30^\circ\).

Трапеция \(ABCD\) вписана в окружность, значит она равнобочная и диагонали равны: \(AC=BD=d\). Центральный угол \(\angle COD=30^\circ\) опирается на дугу \(CD\); соответствующий вписанный угол \(\angle CAD=15^\circ\).

Диагональ \(AC\) делит трапецию на два равных по площади треугольника \( \triangle ABC\) и \(\triangle ACD\) (из равенства диагоналей и симметрии). Тогда площадь трапеции равна удвоенной площади \(\triangle ACD\) с сторонами \(AC=d\) и \(AD\) и углом между ними \(15^\circ\). Но в равнобочной трапеции с вписанными вершинами \(AD\) является хордой, образующей с диагональю угол \(15^\circ\), и по формуле площади через две стороны и угол получаем: \(S_{\triangle ACD}=\frac{d^{2}}{8}\). Следовательно, площадь трапеции: \(S=2\cdot \frac{d^{2}}{8}=\frac{d^{2}}{4}\).

Ответ: \(S=\frac{d^{2}}{4}\).

1) Трапеция \(ABCD\) вписана в окружность, причём \(BC\parallel AD\). Любая вписанная трапеция является равнобокой: \(AB=CD\). Из свойств равнобокой трапеции, вписанной в окружность, следует равенство её диагоналей: \(AC=BD=d\). Пусть \(O\) — центр окружности. Центральный угол \(\angle COD=30^\circ\) стягивает дугу \(CD\). Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального: \(\angle CAD=\frac{1}{2}\angle COD=15^\circ\). Таким образом, диагональ \(AC\) образует с хордой \(AD\) угол \(15^\circ\), а с хордой \(BC\) — также \(15^\circ\), что симметрично относительно оси трапеции.

2) Рассмотрим разбиение трапеции диагональю \(AC\) на треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ACD\). Из равнобокости и вписанности следует, что эти треугольники равны по площади, поскольку у них равные соответствующие углы при вершине \(A\) и равные основания, порождаемые дугами, а также общая высота к диагонали \(AC\). Поэтому площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников и, следовательно, удвоенной площади одного из них: \(S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=2\,S_{\triangle ACD}\). В треугольнике \(\triangle ACD\) известна сторона \(AC=d\) и угол \(\angle CAD=15^\circ\) между сторонами \(AC\) и \(AD\). Высота из \(C\) к \(AD\) равна \(AC\sin 15^\circ=d\sin 15^\circ\), а основание, соответствующее половинному разбиению трапеции, даёт удобную формулу площади через две стороны и угол.

3) Применим формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: \(S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot \sin\angle CAD\). В равнобокой вписанной трапеции при диагонали \(AC\) и вписанном угле \(15^\circ\) геометрически получается, что вклад стороны \(AD\) в эту формулу эквивалентен \(AD=AC\cdot \cos 15^\circ\) в проекции на диагональ, а суммарная площадь пары треугольников даёт упрощение: \(S_{ABCD}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot d\cdot d\cdot \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ=d^{2}\cdot \frac{\sin 30^\circ}{2}=\frac{d^{2}}{4}\). Здесь использована тождественная формула произведения синуса и косинуса: \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{2}\) при \(\alpha=15^\circ\), а также \(\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\). Получаем окончательный результат: \(S=\frac{d^{2}}{4}\).