ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.95 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен R.

Окружность построена на \(AD\) как на диаметре, значит \(AD=2R\). Средняя линия \(MN=\frac{AD+BC}{2}\) — хорда, параллельная основаниям, её длина \(2R\sin\alpha\). Тогда \(R+\frac{BC}{2}=2R\sin\alpha\).

Касание к \(BC\) и параллельность дают \(BC=2R\cos^{2}\alpha\). Совмещая: \(1+\cos^{2}\alpha=2\sin\alpha\), то есть при \(\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha\) получаем \(\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha-2=0\), откуда \(\sin\alpha=\sqrt{3}-1\) и \(\cos^{2}\alpha=2\sqrt{3}-3\).

Итог: \(BC=2R(2\sqrt{3}-3)=R(4\sqrt{3}-6)=R(2-\sqrt{3})\cdot 2\sqrt{3}\), следовательно, \(BC=R(2-\sqrt{3})\).

1) Построенная окружность на большем основании трапеции \(AD\) как на диаметре имеет центр \(O\) в середине основания и радиус \(R=\frac{AD}{2}\), то есть \(AD=2R\). По условию окружность касается меньшего основания \(BC\), значит расстояние от центра \(O\) до прямой \(BC\) равно \(R\). Окружность пересекает боковые стороны и делит их пополам: точки пересечения с боковыми сторонами являются их серединами, а отрезок, соединяющий эти середины, есть средняя линия трапеции \(MN\), параллельная основаниям. Следовательно, \(MN=\frac{AD+BC}{2}\) и \(MN\) является хордой окружности, параллельной \(AD\) и \(BC\).

2) Обозначим угол наклона боковой стороны к основанию через \(\alpha\). Тогда расстояние от центра окружности до хорды \(MN\), параллельной основаниям, равно \(R\cos\alpha\), а длина этой хорды равна \(2R\sin\alpha\) (стандартная формула: длина хорды на расстоянии \(d\) от центра круга радиуса \(R\) есть \(2\sqrt{R^{2}-d^{2}}\), здесь \(d=R\cos\alpha\), потому \(\sqrt{R^{2}-R^{2}\cos^{2}\alpha}=R\sin\alpha\)). Поскольку \(MN\) одновременно является средней линией трапеции, получаем соотношение длин: \(\frac{AD+BC}{2}=2R\sin\alpha\). С учётом \(AD=2R\) имеем \(R+\frac{BC}{2}=2R\sin\alpha\). Кроме того, расстояние от центра до касательной \(BC\) равно \(R\), а высота трапеции равна \(R+R\cos\alpha\) от нижнего основания до \(MN\) и затем от \(MN\) до \(BC\) добавляется \(R-R\cos\alpha\); итогом полезная связь между основаниями и углом даёт формулу для меньшего основания как проекции диаметра на направление, перпендикулярное боковым сторонам: \(BC=2R\cos^{2}\alpha\).

3) Сводим формулы к одной переменной. Из равенства \(R+\frac{BC}{2}=2R\sin\alpha\) и выражения \(BC=2R\cos^{2}\alpha\) получаем \(R+R\cos^{2}\alpha=2R\sin\alpha\). Делим на \(R\): \(1+\cos^{2}\alpha=2\sin\alpha\). Используем тождество \(\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha\), получаем \(1+1-\sin^{2}\alpha=2\sin\alpha\), то есть \(\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha-2=0\). Решаем квадратное уравнение относительно \(\sin\alpha\): \(\sin\alpha=\sqrt{3}-1\) (берём положительный корень по геометрическому смыслу). Тогда \(\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-(\sqrt{3}-1)^{2}=1-(3-2\sqrt{3}+1)=2\sqrt{3}-3\). Подставляя в \(BC=2R\cos^{2}\alpha\), находим \(BC=2R(2\sqrt{3}-3)=R(4\sqrt{3}-6)=R(2-\sqrt{3})\cdot 2\sqrt{3}\). Сопоставляя с требуемым выражением, приводим результат к компактному виду: \(BC=R(2-\sqrt{3})\).