ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.96 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если AC = 17 см, а высота трапеции равна 8 см.

В прямоугольных треугольниках, на которые диагонали делят трапецию, высота 8 см является катетом, а диагональ \(AC=17\) — гипотенузой. Тогда проекция диагонали на основание равна другому катету: \(x=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289-64}=15\).

Пусть основания трапеции равны \(BC\) и \(AD\). Из перпендикулярности диагоналей в подобных треугольниках катеты пропорциональны, поэтому произведение оснований равно квадрату диагонали: \(BC\cdot AD=AC^{2}=289\). Также разность оснований равна удвоенной найденной проекции: \(AD-BC=2x=30\).

Решая систему \( \begin{cases}AD-BC=30,\\ AD\cdot BC=289\end{cases}\), получаем \(AD+BC=\frac{(AD-BC)^{2}+4AD\cdot BC}{AD-BC}= \frac{30^{2}+4\cdot289}{30}= \frac{900+1156}{30}= \frac{2056}{30}=\frac{1028}{15}\).

Площадь трапеции: \(S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{\frac{1028}{15}}{2}\cdot 8=\frac{1028}{30}\cdot 8=\frac{8224}{30}=\frac{1156}{15}\ \text{см}^2\).

1. Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с высотой \(h=8\) и перпендикулярными диагоналями \(AC \perp BD\). Диагональ \(AC=17\) образует два прямоугольных треугольника с общей высотой \(8\). В одном таком треугольнике гипотенуза равна \(17\), а один катет равен \(8\). Второй катет, являющийся проекцией диагонали на основание (обозначим его \(x\)), находим по теореме Пифагора: \(x=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289-64}=15\). Эта величина геометрически равна средней линии от вершины к основанию, то есть расстоянию между проекциями концов диагонали на нижнее основание, и далее используется как половина разности оснований.

2. Используем свойства подобных прямоугольных треугольников, возникающих из диагоналей при их перпендикулярности: катеты пропорциональны, а произведение оснований трапеции равно квадрату одной диагонали. Для нашей диагонали получаем ключевое соотношение \(BC \cdot AD = AC^{2} = 289\). Одновременно из геометрии проекций следует, что разность оснований выражается через удвоенную найденную проекцию: \(AD — BC = 2x = 30\). Таким образом, имеем систему двух уравнений на основания \(AD\) и \(BC\): \(AD \cdot BC = 289\) и \(AD — BC = 30\). Это классическая связка «произведение и разность», позволяющая через квадрат разности получить сумму оснований, необходимую для площади.

3. Чтобы получить сумму оснований, используем формулу \( (AD+BC) = \frac{(AD-BC)^{2} + 4AD\cdot BC}{AD-BC} \). Подставляя численные значения, вычисляем: \(AD+BC = \frac{30^{2} + 4 \cdot 289}{30} = \frac{900 + 1156}{30} = \frac{2056}{30} = \frac{1028}{15}\). Теперь находим площадь трапеции по стандартной формуле через сумму оснований и высоту: \(S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{\frac{1028}{15}}{2} \cdot 8 = \frac{1028}{30} \cdot 8 = \frac{8224}{30} = \frac{1156}{15}\ \text{см}^{2}\). Полученное значение согласуется с вычислениями по рисунку и полностью следует из перпендикулярности диагоналей, теоремы Пифагора и формулы площади трапеции.