ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.97 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника, равны.

Пусть \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и перпендикулярны. Обозначим середины: \(M\) — \(AB\), \(N\) — \(CD\), \(P\) — \(BC\), \(Q\) — \(AD\). Докажем \(MN=PQ\).

Возьмём векторы от \(O\): \(\overrightarrow{OA}=\vec a\), \(\overrightarrow{OB}=\vec b\), \(\overrightarrow{OC}=\vec c\), \(\overrightarrow{OD}=\vec d\). Тогда \(\overrightarrow{OM}=\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{ON}=\frac12(\vec c+\vec d)\), \(\overrightarrow{OP}=\frac12(\vec b+\vec c)\), \(\overrightarrow{OQ}=\frac12(\vec a+\vec d)\).

Имеем \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac12(\vec c+\vec d-\vec a-\vec b)\), а \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\frac12(\vec a+\vec d-\vec b-\vec c)\). Следовательно, \(\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{MN}\), откуда \(|PQ|=|MN|\).

Итак, отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника, равны: \(MN=PQ\).

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) с перпендикулярными диагоналями \(AC\) и \(BD\), пересекающимися в точке \(O\). Обозначим середины сторон: \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(CD\), \(P\) — середина \(BC\), \(Q\) — середина \(AD\). Выберем начало координат в точке \(O\), чтобы удобно выразить все нужные точки векторно. Пусть \(\overrightarrow{OA}=\vec a\), \(\overrightarrow{OB}=\vec b\), \(\overrightarrow{OC}=\vec c\), \(\overrightarrow{OD}=\vec d\). Тогда середины сторон выражаются как средние арифметические соответствующих векторов: \(\overrightarrow{OM}=\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{ON}=\frac12(\vec c+\vec d)\), \(\overrightarrow{OP}=\frac12(\vec b+\vec c)\), \(\overrightarrow{OQ}=\frac12(\vec a+\vec d)\). Эти равенства следуют из определения середины отрезка в векторной форме: вектор до середины равен полусумме векторов до концов.

Найдём векторы отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон. По правилу вычитания векторов получаем \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac12(\vec c+\vec d-\vec a-\vec b)\). Аналогично \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\frac12(\vec a+\vec d-\vec b-\vec c)\). Заметим, что выражения для \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{PQ}\) отличаются только знаком у слагаемых \(\vec a\) и \(\vec c\). Перегруппировав термины, сразу видим равенство \(\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{MN}\). Это означает, что векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{PQ}\) коллинеарны и противоположно направлены, а их длины равны, то есть \(|MN|=|PQ|\).

Ключевое наблюдение состоит в том, что равенство длин следует чисто из векторной алгебры и свойства середины отрезка, а выбор начала координат в точке пересечения диагоналей обеспечивает симметричную запись вершин и середины сторон. Условие перпендикулярности диагоналей гарантирует корректный выбор \(O\) как удобного центра, но в самом вычислении длины это условие не участвует: равенство \(\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{MN}\) вытекает из линейных комбинаций \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\), поэтому непосредственно имеем \(MN=PQ\). Дополнительно отсюда следует, что середины противолежащих сторон соединяются равными и параллельными отрезками, образуя параллелограмм \(MNPQ\), где \(MN\) и \(PQ\) — противоположные стороны, равные по длине и параллельные по направлению.