ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.98 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

Пусть \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, \(M,N\) — середины \(AB,CD\), \(P,Q\) — середины \(BC,AD\). Введём векторы: возьмём \(A\) за начало, пусть \(\vec a=\overrightarrow{AB}\), \(\vec b=\overrightarrow{AD}\), тогда \(B=\vec a\), \(D=\vec b\), \(C=\vec a+\vec b\). Середины: \(M=\frac12\vec a\), \(N=\frac12(\vec a+2\vec b)\), \(P=\frac12(2\vec a+\vec b)\), \(Q=\frac12\vec b\). Тогда \(\overrightarrow{MN}=\vec b\), \(\overrightarrow{PQ}=-\vec a\). По условию \(|MN|=|PQ|\), значит \(|\vec b|=|\vec a|\).

Диагонали: \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a\). Их скалярное произведение равно \((\vec a+\vec b)\cdot(\vec b-\vec a)=-|\vec a|^2+|\vec b|^2=0\). Следовательно, диагонали перпендикулярны.

1. Пусть \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник. Обозначим середины противоположных сторон: \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(CD\), а \(P\) и \(Q\) — середины \(BC\) и \(AD\). Возьмём \(A\) за начало координат и введём векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\). Тогда вершины имеют координаты \(A=\vec 0\), \(B=\vec a\), \(D=\vec b\), \(C=\vec a+\vec b\). По определению середины отрезка получаем координаты точек: \(M=\frac12\vec a\), \(N=\frac12(\vec a+2\vec b)\), \(P=\frac12(2\vec a+\vec b)\), \(Q=\frac12\vec b\). Эти выражения следуют из усреднения соответствующих пар вершин, например, \(N=\frac{C+D}{2}=\frac{(\vec a+\vec b)+\vec b}{2}\), а \(P=\frac{B+C}{2}=\frac{\vec a+(\vec a+\vec b)}{2}\).

2. Рассмотрим векторы отрезков, соединяющих середины противоположных сторон: \(\overrightarrow{MN}=N-M=\frac12(\vec a+2\vec b)-\frac12\vec a=\vec b\) и \(\overrightarrow{PQ}=Q-P=\frac12\vec b-\frac12(2\vec a+\vec b)=-\vec a\). Следовательно, их длины равны \(|MN|=|\vec b|\) и \(|PQ|=|\vec a|\). Условие задачи \(|MN|=|PQ|\) эквивалентно равенству \(|\vec a|=|\vec b|\). Геометрически это означает, что стороны \(AB\) и \(AD\) исходят из общей вершины \(A\) и имеют одинаковую длину, хотя угол между ними произвольный.

3. Теперь выразим диагонали через \(\vec a\) и \(\vec b\): \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\) и \(\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a\) (так как \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\vec a+\vec b\)). Их скалярное произведение равно \((\vec a+\vec b)\cdot(\vec b-\vec a)=\vec a\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec a+\vec b\cdot\vec b-\vec b\cdot\vec a=-|\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}\). Из равенства \(|\vec a|=|\vec b|\) следует \(-|\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}=0\), то есть \((\vec a+\vec b)\cdot(\vec b-\vec a)=0\). Следовательно, \(\overrightarrow{AC}\) перпендикулярен \(\overrightarrow{BD}\), а потому диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны.