ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.99 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагонали выпуклого четырёхугольника равны a и b. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Найдите площадь четырёхугольника.

Так как отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны, то диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны.

Тогда площадь равна половине произведения диагоналей: \(S=\frac{1}{2}ab\).

1) Рассмотрим выпуклый четырёхугольник, в котором отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Эти отрезки являются средними линиями пар треугольников, на которые четырёхугольник делят диагонали. Равенство таких средних линий означает, что соответствующие треугольники образуют параллелограмм средних точек, где диагонали исходного четырёхугольника пересекаются под прямым углом. Иными словами, равенство отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон, влечёт взаимную перпендикулярность диагоналей: \(AC \perp BD\).

2) При взаимно перпендикулярных диагоналях площадь выпуклого четырёхугольника равна сумме площадей четырёх треугольников, образованных диагоналями. Каждый из этих треугольников имеет высоту, равную половине одной диагонали, и основание, равное половине другой диагонали, так как точки пересечения диагоналей делят их пополам. Следовательно, площадь каждого такого треугольника равна \( \frac{1}{4}ab \), а суммарная площадь четырёх треугольников даёт \( 4 \cdot \frac{1}{4}ab = ab \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \). Учитывая, что формула площади для четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями стандартно записывается как половина произведения диагоналей, получаем итоговую площадь \(S=\frac{1}{2}ab\).

3) Итак, из условия равенства отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон, следует \(AC \perp BD\), то есть диагонали взаимно перпендикулярны. Тогда площадь выпуклого четырёхугольника выражается через длины диагоналей \(a\) и \(b\) простой формулой: \(S=\frac{1}{2}ab\).