ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) (рис. 3.12). Найдите сумму векторов:

1) \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA_1}\);

2) \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1C_1}\).

Сумма векторов:

1) \( \vec{BC} + \vec{AA_1} = \vec{BC} + \vec{AA_1} = \vec{BC_1} \)

2) \( \vec{BA} + \vec{A_1C_1} = \vec{BA} + \vec{A_1C_1} = \vec{BC_1} \)

1) Рассмотрим сумму векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{AA_1} \). Вектор \( \vec{BC} \) направлен от точки B к точке C, а вектор \( \vec{AA_1} \) — от точки A к точке \( A_1 \), то есть вдоль ребра призмы, перпендикулярного основанию. Чтобы найти сумму этих векторов, нужно представить их как перемещения. Сначала перемещаемся по вектору \( \vec{BC} \) из точки B в точку C, затем прибавляем перемещение по вектору \( \vec{AA_1} \), которое направлено вертикально вверх от точки A к \( A_1 \).

Поскольку \( \vec{AA_1} \) параллелен ребру \( BB_1 \), а \( \vec{BC} \) лежит в основании призмы, их сумма будет вектором, соединяющим точку B с точкой \( C_1 \) (вершина над точкой C на верхнем основании). То есть, \( \vec{BC} + \vec{AA_1} = \vec{BC_1} \). Это можно понять, если представить, что сначала мы идём от B к C, а затем вверх на высоту призмы, что эквивалентно перемещению от B к \( C_1 \).

2) Теперь рассмотрим сумму векторов \( \vec{BA} \) и \( \vec{A_1C_1} \). Вектор \( \vec{BA} \) направлен от B к A, а \( \vec{A_1C_1} \) — от \( A_1 \) к \( C_1 \), то есть по верхнему основанию призмы. Чтобы сложить эти векторы, нужно мысленно перенести один из них так, чтобы начальная точка второго совпала с конечной точкой первого. Если начать в точке B, пройти вектором \( \vec{BA} \) к точке A, а затем добавить вектор \( \vec{A_1C_1} \), который параллелен и равен по длине вектору \( \vec{AC} \), но расположен на верхнем основании, то итоговый вектор соединит точку B с точкой \( C_1 \).

Таким образом, сумма \( \vec{BA} + \vec{A_1C_1} \) равна вектору \( \vec{BC_1} \). Это связано с тем, что \( \vec{A_1C_1} \) — это перенос вектора \( \vec{AC} \) на верхнее основание, а \( \vec{BA} = -\vec{AB} \), поэтому сумма даёт переход от B к \( C_1 \).

Итог: обе суммы векторов равны \( \vec{BC_1} \), что отражает геометрическую структуру призмы и взаимное расположение её рёбер и граней.