ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны векторы \(\vec{m} (3; -1; 2)\) и \(\vec{n} (4; -2; -3)\). Найдите:

1) координаты вектора \(\vec{m} — \vec{n}\);

2) \(|\vec{m} — \vec{n}|\).

Даны векторы \( \vec{m} = (3; -1; 2) \) и \( \vec{n} = (4; -2; -3) \).

Координаты вектора \( \vec{m} — \vec{n} \) находятся по формуле вычитания векторов:
\[
\vec{m} — \vec{n} = (3 — 4; -1 — (-2); 2 — (-3)) = (-1; 1; 5)
\]

Длина (модуль) вектора \( \vec{m} — \vec{n} \) равна:
\[
|\vec{m} — \vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}
\]

1) Для нахождения координат вектора \( \vec{m} — \vec{n} \) необходимо выполнить вычитание соответствующих компонент векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \). Вектор \( \vec{m} \) задан координатами (3; -1; 2), а вектор \( \vec{n} \) — (4; -2; -3). Вычитание векторов происходит по правилу: из каждой координаты первого вектора вычитается соответствующая координата второго вектора. Это значит, что новая координата по оси x будет равна \( 3 — 4 \), по оси y — \( -1 — (-2) \), а по оси z — \( 2 — (-3) \). Выполним эти операции: \( 3 — 4 = -1 \), \( -1 + 2 = 1 \), \( 2 + 3 = 5 \). Таким образом, координаты вектора \( \vec{m} — \vec{n} \) равны (-1; 1; 5).

2) Для нахождения длины (или модуля) вектора \( \vec{m} — \vec{n} \) используется формула длины вектора в трехмерном пространстве. Длина вектора с координатами \( (x; y; z) \) вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат, то есть \( \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \). Подставим найденные координаты вектора: \( x = -1 \), \( y = 1 \), \( z = 5 \). Тогда длина равна \( \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 5^2} \). Возводим каждую координату в квадрат: \( (-1)^2 = 1 \), \( 1^2 = 1 \), \( 5^2 = 25 \). Складываем: \( 1 + 1 + 25 = 27 \). Осталось извлечь квадратный корень из 27.

3) Квадратный корень из 27 можно представить как произведение квадратного корня из 9 и квадратного корня из 3, то есть \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \). Таким образом, длина вектора \( \vec{m} — \vec{n} \) равна \( 3 \sqrt{3} \). Это значение показывает, насколько далеко находится точка, соответствующая вектору \( \vec{m} — \vec{n} \), от начала координат в трехмерном пространстве.