ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (см. рис. 3.15). Укажите все векторы, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда, противоположные вектору:

1) \(\overrightarrow{B_1B}\);

2) \(\overrightarrow{CD_1}\).

1) Векторы, противоположные \( \overrightarrow{B_1B} \):
\(\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{C_1C}, \overrightarrow{D_1D}\).

2) Векторы, противоположные \( \overrightarrow{CD_1} \):
\(\overrightarrow{D A_1}, \overrightarrow{E D_1}, \overrightarrow{B_1 B}\).

1) Вектор \( \overrightarrow{B_1B} \) соединяет вершину \( B_1 \) с вершиной \( B \). Чтобы найти векторы, противоположные ему, нужно определить такие векторы, которые имеют одинаковую длину, но направлены в противоположную сторону, то есть их начало и конец — вершины, противоположные по положению в параллелепипеде. В параллелепипеде вершины \( E, D, C_1, C, D_1 \) и другие расположены так, что векторы \( \overrightarrow{ED} \), \( \overrightarrow{C_1C} \) и \( \overrightarrow{D_1D} \) имеют направление, противоположное \( \overrightarrow{B_1B} \).

Эти векторы соответствуют ребрам, которые параллельны и равны по длине \( \overrightarrow{B_1B} \), но направлены в обратную сторону. Например, \( \overrightarrow{ED} \) — это вектор, соединяющий вершину \( E \) с вершиной \( D \), и он противоположен \( \overrightarrow{B_1B} \) по направлению. Аналогично, \( \overrightarrow{C_1C} \) и \( \overrightarrow{D_1D} \) являются противоположными векторами, так как они параллельны и равны по длине, но направлены в другую сторону.

2) Вектор \( \overrightarrow{CD_1} \) соединяет вершину \( C \) с вершиной \( D_1 \). Чтобы найти противоположные ему векторы, нужно рассмотреть вершины, которые расположены так, что векторы между ними будут параллельны и равны по длине, но направлены в обратную сторону. В данном случае такими векторами являются \( \overrightarrow{DA_1} \), \( \overrightarrow{ED_1} \) и \( \overrightarrow{B_1B} \).

Каждый из этих векторов начинается и заканчивается в вершинах, которые являются противоположными тем, что образуют \( \overrightarrow{CD_1} \). Например, \( \overrightarrow{DA_1} \) соединяет вершину \( D \) с вершиной \( A_1 \), и направление этого вектора противоположно \( \overrightarrow{CD_1} \). Аналогично, \( \overrightarrow{ED_1} \) и \( \overrightarrow{B_1B} \) также являются противоположными векторами, так как они параллельны \( \overrightarrow{CD_1} \) и направлены в обратную сторону.

Таким образом, для каждого заданного вектора из параллелепипеда можно найти несколько векторов, которые имеют противоположное направление, соединяя вершины, расположенные симметрично относительно исходного вектора. Это свойство вытекает из геометрии параллелепипеда, где противоположные ребра параллельны и равны по длине, но направлены в противоположные стороны.