ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{DC}\);

2) \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{CD} — \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF}\).

1) Упростим выражение \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{DC} \).

Заметим, что \(\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BA}\), а \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\).

Тогда:

\(
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{NK} =\)
\(= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{NK}.
\)

Поскольку \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}\), остается:

\[
\overrightarrow{NK}.
\]

2) Упростим выражение \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{CD} — \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF} \).

Перегруппируем:

\[
\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AE} — \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF}.
\]

Заметим, что \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{EB}\), а \(- \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{DE}\).

Раскроем:

\[
\overrightarrow{EB} — \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{DB}.
\]

Ответы:

1) \(\overrightarrow{NK}\)

2) \(\overrightarrow{DB}\)

1) Рассмотрим выражение \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{DC} \). Для упрощения нужно внимательно проанализировать, как связаны между собой векторы. Векторы \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{MA}\) можно сложить, так как они направлены последовательно: из точки \(B\) в \(M\), а затем из \(M\) в \(A\). Их сумма равна вектору \(\overrightarrow{BA}\), то есть перемещению от \(B\) к \(A\). Это базовое свойство векторов: если два вектора идут по смежным отрезкам, их сумма равна вектору, соединяющему начало первого с концом второго.

Далее рассмотрим векторы \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DC}\). Они направлены в противоположные стороны, поэтому их сумма равна нулевому вектору, обозначаемому как \(\overrightarrow{0}\). Это важное свойство: сумма вектора и его противоположного равна нулю. Таким образом, \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\).

Теперь подставим эти упрощения в исходное выражение:

\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{NK} \).

Обратите внимание, что \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}\), так как \(\overrightarrow{BA}\) — это вектор, обратный \(\overrightarrow{AB}\). Следовательно, остаётся только вектор \(\overrightarrow{NK}\).

2) Рассмотрим выражение \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{CD} — \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF} \). Для упрощения сгруппируем слагаемые так, чтобы легче было видеть связи между векторами. Перегруппируем в следующем порядке:

\( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AE} — \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF} \).

Теперь рассмотрим первые два слагаемых: \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AE}\). Вычитаем вектор \(\overrightarrow{AE}\) из \(\overrightarrow{AB}\), что эквивалентно сумме \(\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AE})\). По свойствам векторов это равно вектору, направленному от точки \(E\) к \(B\), то есть \(\overrightarrow{EB}\).

Далее рассмотрим три оставшихся вектора: \(- \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF}\). Их можно представить как сумму \(-\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{CD} + (\overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF})\). Заметим, что \(\overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{CE}\), так как вычитание векторов отражает перемещение от точки \(F\) к \(E\), а затем от \(C\) к \(F\). Таким образом, выражение становится \(-\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CE}\).

Поскольку \(\overrightarrow{CE} — \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DE}\), то вся часть равна \(\overrightarrow{DE}\) с отрицательным знаком, то есть \(-\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{ED}\).

Теперь итоговое выражение принимает вид:

\[
\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{ED}.
\]

Сумма двух векторов, исходящих из точки \(E\) и направленных к \(B\) и \(D\), равна вектору, направленному от \(D\) к \(B\), то есть \(\overrightarrow{DB}\).

Итог: выражение упрощается до \(\overrightarrow{DB}\).