ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Упростите выражение:
1) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM}\);
2) \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{DF} — \overrightarrow{AC}\).

1) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{FM}\)

2) \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{DF} — \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BE}\)

1) Рассмотрим выражение \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM} \). Для упрощения используем свойства векторов, в частности, что сумма векторов вдоль замкнутого контура равна нулю. Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{EA} \) связаны так, что \( \overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB} \), поэтому их сумма равна нулю. Аналогично, \( \overrightarrow{DE} \) и \( \overrightarrow{FD} \) связаны с \( \overrightarrow{EF} \), и их сумма также может быть сведена к более простому виду. Вектор \( \overrightarrow{FC} \) встречается дважды, что позволяет сгруппировать слагаемые.

После применения этих преобразований и замены векторов на равные по модулю и направлению, выражение сводится к вектору \( \overrightarrow{FM} \). Это означает, что суммарное действие всех исходных векторов эквивалентно вектору, направленному от точки \( F \) к точке \( M \).

Таким образом, итоговое упрощённое выражение будет: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{FM} \).

2) Рассмотрим выражение \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{DF} — \overrightarrow{AC} \). Здесь полезно сгруппировать векторы, чтобы выявить замкнутые контуры и упростить сумму. Например, \( \overrightarrow{BC} — \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \), так как это разность векторов, исходящих из одной точки и направленных к другим.

Далее, \( \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{FE} \), что также упрощает выражение. Добавляя \( \overrightarrow{AF} \), мы видим, что сумма векторов \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FE} \) образует путь от точки \( B \) к точке \( E \) через точки \( A \) и \( F \).

В итоге, после сокращений, выражение упрощается до вектора \( \overrightarrow{BE} \), который направлен от точки \( B \) к точке \( E \). Таким образом, итоговое равенство будет: \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{DF} — \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BE} \).