ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что векторы \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM}\) противоположны.

Векторы \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \) и \( \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM} \) рассмотрим по частям.

\( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} \).

\( \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{DA} + (\overrightarrow{AM} — \overrightarrow{CM}) = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM} — \overrightarrow{CM} \).

Так как \( \overrightarrow{AM} — \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AC} \), то

\( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CD} \).

Таким образом, второй вектор равен \( -\overrightarrow{CD} \), то есть противоположен первому. Следовательно, векторы противоположны.

1. Рассмотрим первый вектор \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \). Вектор \( \overrightarrow{AB} \) направлен от точки A к точке B, а вектор \( \overrightarrow{AC} \) от A к C. Вычитая \( \overrightarrow{AC} \) из \( \overrightarrow{AB} \), мы фактически перемещаемся от точки C к точке B, так как \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} \). Затем добавляем вектор \( \overrightarrow{BD} \), направленный от B к D. Складывая \( \overrightarrow{CB} \) и \( \overrightarrow{BD} \), получаем вектор \( \overrightarrow{CD} \), направленный от точки C к точке D.

2. Теперь рассмотрим второй вектор \( \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM} \). Вектор \( \overrightarrow{DA} \) направлен от D к A. Вектор \( \overrightarrow{CM} \) от C к M, а \( \overrightarrow{AM} \) от A к M. Вычитаем \( \overrightarrow{CM} \) из \( \overrightarrow{DA} \), затем прибавляем \( \overrightarrow{AM} \). Для удобства перепишем \( \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM} \) как \( \overrightarrow{DA} + (\overrightarrow{AM} — \overrightarrow{CM}) \). Разность \( \overrightarrow{AM} — \overrightarrow{CM} \) равна \( \overrightarrow{AC} \), так как это перемещение от C к A через M.

3. Таким образом, второй вектор равен \( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} \). Поскольку \( \overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} \), а \( \overrightarrow{AC} \) направлен от A к C, то сумма равна \( -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} \). Вектор \( \overrightarrow{AD} \) направлен от A к D, следовательно, \( -\overrightarrow{AD} \) направлен от D к A. Сложение \( -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} \) даёт вектор, направленный от D к C, то есть \( -\overrightarrow{CD} \). Таким образом, второй вектор равен \( -\overrightarrow{CD} \), что является вектором, противоположным первому \( \overrightarrow{CD} \). Следовательно, данные векторы противоположны.