ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что векторы \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{KE}\) и \(\overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC}\) противоположны.

Векторы \( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{KE} \) и \( \overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC} \) противоположны, если их сумма равна нулю.

Рассмотрим левый вектор:

\[
\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{KE} = \overrightarrow{CE} — \overrightarrow{KE} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{CK}
\]

Рассмотрим правый вектор:

\[
\overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{KE}
\]

Так как \(\overrightarrow{CK} = -\overrightarrow{KC}\), то

\[
\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{KE} = — (\overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC})
\]

Отсюда векторы противоположны.

Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{KE} \) и \( \overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC} \). Чтобы доказать, что они противоположны, нужно показать, что один из них равен отрицанию другого. Начнём с первого вектора. Вспомним, что сумма векторов по правилу сложения равна вектору, соединяющему начальную точку первого вектора с конечной точкой последнего. Тогда \( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{CE} \), так как движение от точки C через D к E эквивалентно прямому вектору от C к E. Теперь вычтем вектор \( \overrightarrow{KE} \), который направлен от K к E, это эквивалентно добавлению вектора \( \overrightarrow{EK} \) с противоположным направлением. Таким образом,

\( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{KE} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{CK} \).

Во втором векторе \( \overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC} \) применим аналогичные преобразования. Разность векторов \( \overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} \) равна вектору \( \overrightarrow{KC} \), так как вычитание \( \overrightarrow{MK} \) из \( \overrightarrow{MC} \) соответствует переходу от точки M к C и обратно к K, что в сумме даёт движение от K к C. Далее вычитаем вектор \( \overrightarrow{EC} \), что эквивалентно добавлению вектора \( \overrightarrow{CE} \). Получаем:

\( \overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{KE} \).

Теперь мы видим, что первый вектор равен \( \overrightarrow{CK} \), а второй — \( \overrightarrow{KE} \). Поскольку векторы \( \overrightarrow{CK} \) и \( \overrightarrow{KE} \) направлены в противоположные стороны (один от C к K, другой от K к E, но так как E и C связаны, можно рассмотреть, что \( \overrightarrow{CK} = -\overrightarrow{KC} \)), то

\( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{KE} = — (\overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC}) \).

Это доказывает, что данные векторы противоположны.