ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите сумму \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB_1}\).

Дано: параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Нужно найти сумму векторов

\( \vec{AA_1} + \vec{B_1C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1} \).

Решение:

1. Используем свойства параллелепипеда и векторов:

\(\vec{AA_1} + \vec{B_1C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1} =\)

\(\vec{AA_1} + \vec{B_1C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}\).

2. Преобразуем с помощью векторных равенств:

\(\vec{B_1C_1} = \vec{BC}\), \(\vec{DD_1} = \vec{AA_1}\), \(\vec{CB_1} = \vec{CA} + \vec{AA_1} + \vec{AB}\).

3. Подставляя и группируя:

\[
\vec{AA_1} + \vec{BC} + \vec{BC} + \vec{AA_1} + \vec{AB} + (\vec{CA} + \vec{AA_1} + \vec{AB}) =
\]

\[
3\vec{AA_1} + 2\vec{BC} + 2\vec{AB} + \vec{CA}.
\]

4. Так как \(\vec{CA} = -\vec{AC} = -(\vec{AB} + \vec{BC})\), то

\[
3\vec{AA_1} + 2\vec{BC} + 2\vec{AB} — (\vec{AB} + \vec{BC}) =
\]

\[
3\vec{AA_1} + (\vec{BC}) + (\vec{AB}) = 3\vec{AA_1} + \vec{BC} + \vec{AB}.
\]

5. В параллелепипеде \(\vec{AA_1} + \vec{BC} + \vec{AB} = \vec{0}\), следовательно сумма равна \(\vec{0}\).

Ответ: \( \vec{0} \).

1. Рассмотрим параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Векторные выражения, которые нужно сложить, это: \( \vec{AA_1} \), \( \vec{B_1C_1} \), \( \vec{BC} \), \( \vec{DD_1} \), \( \vec{AB} \), \( \vec{CB_1} \). Чтобы упростить сумму, нужно воспользоваться свойствами векторов и геометрией параллелепипеда. Векторы \( \vec{AA_1} \) и \( \vec{DD_1} \) направлены вдоль ребер, соединяющих основания и верхние грани, и равны по величине и направлению, так как параллелепипед — это фигура с параллельными и равными ребрами.

2. Вектор \( \vec{B_1C_1} \) лежит на верхнем основании и параллелен вектору \( \vec{BC} \) на нижнем основании, поэтому \( \vec{B_1C_1} = \vec{BC} \). Вектор \( \vec{CB_1} \) можно представить как сумму векторов \( \vec{CA} \), \( \vec{AA_1} \) и \( \vec{AB} \), так как \( B_1 \) — это точка на верхнем основании, смещённая относительно \( C \) вдоль ребер параллелепипеда. Таким образом, \( \vec{CB_1} = \vec{CA} + \vec{AA_1} + \vec{AB} \).

3. Подставляя все в исходную сумму, получаем: \( \vec{AA_1} + \vec{B_1C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1} = \vec{AA_1} + \vec{BC} + \vec{BC} + \vec{AA_1}=\)
\( + \vec{AB} + (\vec{CA} + \vec{AA_1} + \vec{AB}) \). Группируем похожие векторы: \( 3\vec{AA_1} + 2\vec{BC} + 2\vec{AB} + \vec{CA} \). Так как \( \vec{CA} = -(\vec{AC}) = -(\vec{AB} + \vec{BC}) \), подставляем и упрощаем: \( 3\vec{AA_1} + 2\vec{BC} + 2\vec{AB} — (\vec{AB} + \vec{BC}) = 3\vec{AA_1} + \vec{BC} + \vec{AB} \).

4. В параллелепипеде сумма векторов \( \vec{AA_1} + \vec{BC} + \vec{AB} = \vec{0} \), так как эти векторы образуют замкнутый контур, возвращающий к исходной точке. Следовательно, итоговая сумма равна \( \vec{0} \).

5. Таким образом, сумма векторов \( \vec{AA_1} + \vec{B_1C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1} \) равна нулевому вектору, что подтверждается геометрическими свойствами параллелепипеда и равенством векторов, лежащих на параллельных ребрах. Итог: \( \vec{0} \).