ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите сумму \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA_1} + \overrightarrow{BA_1} + \overrightarrow{AD_1} + \overrightarrow{CB}\).

Дано: параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).

Нужно найти сумму векторов: \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{CB} \).

Решение:

\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{CB} =\)

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{CB} =\)

\(\overrightarrow{0}\).

Ответ: \( \overrightarrow{0} \).

1. Рассмотрим параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Векторы, которые нам нужно сложить, это \( \overrightarrow{AC} \), \( \overrightarrow{DC} \), \( \overrightarrow{DA} \), \( \overrightarrow{BA} \), \( \overrightarrow{A_1D_1} \), \( \overrightarrow{CB} \). Для удобства разложим каждый из них через векторы рёбер параллелепипеда, которые образуют базис. Например, \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \), так как \( C \) — это точка, до которой можно дойти из \( A \) через \( B \).

2. Аналогично, \( \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} \), но так как \( D \) и \( B \) связаны рёбрами, можно упростить выражение. Важно заметить, что векторы \( \overrightarrow{DA} \) и \( \overrightarrow{BA} \) направлены в сторону \( A \), то есть они противоположны рёбрам \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AB} \). Вектор \( \overrightarrow{A_1D_1} \) — это ребро на верхней грани параллелепипеда, параллельное \( \overrightarrow{AD} \), но сдвинутое вверх. Вектор \( \overrightarrow{CB} \) можно представить как \( -\overrightarrow{BC} \).

3. Собрав все вместе, сумма векторов сводится к сложению рёбер в базисе, где многие из них взаимно компенсируются. В итоге сумма \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{CB} \) равна нулевому вектору \( \overrightarrow{0} \), так как все рёбра параллелепипеда, сложенные по цепочке, образуют замкнутый контур, и их векторная сумма равна нулю.