ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите сумму векторов:

1) \(\overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{DD_1}\);

2) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C_1D_1}\).

Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).

1) Найдём сумму векторов \( \overrightarrow{A B_1} + \overrightarrow{D D_1} \).

Вектор \( \overrightarrow{A B_1} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B B_1} \).

Вектор \( \overrightarrow{D D_1} = \overrightarrow{D B} + \overrightarrow{B B_1} \).

Складываем:

\[
\overrightarrow{A B_1} + \overrightarrow{D D_1} = (\overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B B_1}) + (\overrightarrow{D B} + \overrightarrow{B B_1}) = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{D B} + 2 \overrightarrow{B B_1}.
\]

Так как \( \overrightarrow{D B} = — \overrightarrow{B D} \), а в кубе \( \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{D B} = \overrightarrow{C B} \), итог:

\[
\overrightarrow{A B_1} + \overrightarrow{D D_1} = \overrightarrow{C B} + 2 \overrightarrow{B B_1}.
\]

2) Найдём сумму векторов \( \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D_1} \).

Вектор \( \overrightarrow{C D_1} = \overrightarrow{C D} + \overrightarrow{D D_1} \).

Складываем:

\[
\overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D_1} = \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D} + \overrightarrow{D D_1}.
\]

Поскольку \( \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D} = \overrightarrow{A D} \), итог:

\[
\overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D_1} = \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{D D_1}.
\]

1) Рассмотрим сумму векторов \( \overrightarrow{A B_1} + \overrightarrow{D D_1} \). В кубе вершина \( B_1 \) расположена над вершиной \( B \), а вершина \( D_1 \) — над вершиной \( D \). Вектор \( \overrightarrow{A B_1} \) можно представить как сумму двух векторов: \( \overrightarrow{A B} \), который лежит в основании куба, и \( \overrightarrow{B B_1} \), направленный вверх вдоль ребра куба. Аналогично, вектор \( \overrightarrow{D D_1} \) равен сумме векторов \( \overrightarrow{D B} \) и \( \overrightarrow{B B_1} \), так как \( D \) и \( B \) соединены ребром основания, а \( B B_1 \) — вертикальный ребро.

Теперь сложим эти два вектора: \( \overrightarrow{A B_1} + \overrightarrow{D D_1} = (\overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B B_1}) + (\overrightarrow{D B} + \overrightarrow{B B_1}) \). В результате получаем сумму \( \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{D B} + 2 \overrightarrow{B B_1} \). Поскольку в кубе векторы \( \overrightarrow{A B} \) и \( \overrightarrow{D B} \) лежат в основании и направлены так, что их сумма равна вектору \( \overrightarrow{C B} \), то итоговый вектор можно переписать как \( \overrightarrow{C B} + 2 \overrightarrow{B B_1} \).

Таким образом, сумма векторов \( \overrightarrow{A B_1} + \overrightarrow{D D_1} \) равна вектору, который начинается в точке \( C \), направлен к \( B \), и дополнительно учитывает удвоенный вертикальный вектор \( \overrightarrow{B B_1} \), что соответствует перемещению по ребру куба вверх в два раза.

2) Рассмотрим сумму векторов \( \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D_1} \). Вектор \( \overrightarrow{A C} \) соединяет вершины основания куба, а вектор \( \overrightarrow{C D_1} \) можно разложить на два: горизонтальный \( \overrightarrow{C D} \) и вертикальный \( \overrightarrow{D D_1} \). Таким образом, \( \overrightarrow{C D_1} = \overrightarrow{C D} + \overrightarrow{D D_1} \).

Складываем эти векторы: \( \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D_1} = \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D} + \overrightarrow{D D_1} \). Сумма \( \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D} \) равна вектору \( \overrightarrow{A D} \), так как это два последовательных ребра основания куба, соединяющие точки \( A \) и \( D \).

В итоге сумма равна \( \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{D D_1} \), что представляет собой перемещение от точки \( A \) к \( D \) по основанию, а затем вверх по ребру куба от \( D \) к \( D_1 \). Это даёт полный вектор, направленный из \( A \) в \( D_1 \) через \( D \).

Таким образом, обе суммы векторов сведены к простым комбинациям ребер куба, что отражает геометрическую структуру фигуры и позволяет выразить сложные векторы через известные ребра.