ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите вектор, равный \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{C_1D_1}\).

Дано: куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).

Нужно найти вектор, равный \( \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{C_1D_1} \).

Решение:

Вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) направлен вдоль ребра куба из \( A \) в \( A_1 \).

Вектор \( \overrightarrow{B_1C} = \overrightarrow{B_1B} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{BC} \).

Вектор \( \overrightarrow{C_1D_1} \) параллелен ребру \( CD \).

Сложение:

\(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{AA_1} + (-\overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{BC}) — \overrightarrow{C_1D_1}\).

Используя свойства куба и равенства векторов ребер:

\(\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{BB_1} = \emptyset\) (так как \(AA_1\) и \(BB_1\) равны и направлены одинаково),

следовательно,

\(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{BC} — \overrightarrow{C_1D_1}\).

Поскольку \( \overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{CD} \), то:

\(\overrightarrow{BC} — \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD}\).

Ответ: \(\overrightarrow{BD}\).

Дано: куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Нужно найти вектор, равный сумме \( \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{C_1D_1} \).

Сначала рассмотрим каждый из векторов по отдельности. Вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) — это вектор, направленный от точки \( A \) к точке \( A_1 \), то есть вдоль ребра куба, которое соединяет основание и верхнюю грань. Этот вектор можно представить как один из базовых векторов куба, например, по оси \( z \).

Далее вектор \( \overrightarrow{B_1C} \) можно разложить через точки \( B_1 \), \( B \) и \( C \). Поскольку \( B_1 \) находится над \( B \), то \( \overrightarrow{B_1C} = \overrightarrow{B_1B} + \overrightarrow{BC} \). Вектор \( \overrightarrow{B_1B} \) направлен вниз и равен по длине \( \overrightarrow{AA_1} \), но противоположен по направлению, то есть \( \overrightarrow{B_1B} = -\overrightarrow{BB_1} = -\overrightarrow{AA_1} \). Тогда \( \overrightarrow{B_1C} = -\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BC} \).

Вектор \( \overrightarrow{C_1D_1} \) лежит на верхней грани куба и параллелен ребру \( CD \). Поскольку все ребра куба равны, и \( \overrightarrow{C_1D_1} \) параллелен \( \overrightarrow{CD} \), то \( \overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{CD} \).

Теперь сложим все векторы:

\( \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{AA_1} + (-\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BC}) — \overrightarrow{CD} \).

В этом выражении \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( -\overrightarrow{AA_1} \) взаимно уничтожаются, поэтому остаётся

\( \overrightarrow{BC} — \overrightarrow{CD} \).

Вектор \( \overrightarrow{BC} — \overrightarrow{CD} \) равен вектору \( \overrightarrow{BD} \), так как \( \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \) с учётом направления \( \overrightarrow{CD} \) в обратную сторону, то есть

\( \overrightarrow{BC} — \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD} \).

Таким образом, искомый вектор равен \( \overrightarrow{BD} \).